Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei parallele Geraden?

Mein Mathelehrer hat meiner Klasse und mir Arbeitsblätter zum Üben ausgeteilt, die wir bearbeiten sollen. Dort befinden sich Aufgaben, sowie Lösungen drauf, jedoch kein richtiger Lösungsweg. Deswegen frage ich nach Hilfe! (:

Also, es gibt zwei Geraden, die parallel zueinander stehen. G1 wird durch die Funktionsgleichung y= 0,5x + 1 bestimmt. G2 liegt Parallel von G1 und läuft durch den Punkt P( 2 / -3 ) G3 liegt senkrecht auf G1 und G2 und läuft durch den Punkt Q( -2 / 1 )

Jetzt muss ich den Abstand zwischen G1 und G2 (die Parallelen) berechnen. Ich habe auch die Lösung und zwar: d= Wurzel 2hoch2 + 4hoch2 = 4,472

Es wäre sehr lieb, wenn mir jemand helfen könnte. Danke schonmal im Voraus. (:

2 Antworten

Willy1729

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Mathematik

05.03.2016, 14:59

Hallo,

wenn zwei Geraden parallel zueinander sind, taucht in den Geradengleichungen y=mx+b derselbe Wert für m auf. Hier ist dies 0,5.

Die erste Gerade hat die Gleichung y=0,5x+1 (gegeben),

die zweite lautet dann y=0,5x+b

b wird berechnet, indem der gegebene Punkt (2|-3) eingesetzt wird:

-3=0,5*2+b

b=-4

Gerade 2 hat also die Gleichung y=0,5x-4.

Eine Gerade, die auf einer anderen senkrecht steht, hat eine Steigung, die der Kehrwert mit umgekehrtem Vorzeichen besitzt.

Der Kehrwert zu 0,5=1/2 ist 2/1, also 2, das umgekehrte Vorzeichen ist ein Minus:

y=-2x+b ist die Gerade, die auf den beiden anderen senkrecht steht.

Da sie durch den Punkt (-2|1) geht, kannst Du auch hier b berechnen:

1=(-2)*(-2)+b

b=-3

y=-2x-3 lautet also diese Geradengleichung.

Um den Abstand der beiden ersten Geraden zu berechnen, berechnest Du die Abstände der Schnittpunkte von Gerade 3 mit G1 und G2.

Die Schnittpunkte bekommst Du heraus, wenn Du G3 mit G1 und mit G2 gleichsetzt, wobei es reicht, wenn Du jeweils die rechten Seiten gleichsetzt, weil sich die y jeweils aufheben:

-2x-3=0,5x+1

2,5x=-4

x=-8/5

y=1/5 (Du brauchst x=-8/5 nur in eine der beiden Gleichungen einzusetzen).

Schnittpunkt 1 ist also (-8/5)|1/5)

Nun setzt Du G2 und G3 gleich:

0,5x-4=-2x-3

2,5x=1

x=2/5

y=-19/5

Schnittpunkt 2 lautet also (2/5|-19/5)

Den Abstand zwischen beiden bekommst Du, wenn Du die Differenz der x-Komponenten und der y-Komponenten quadrierst, dann addierst und aus der Summe die Wurzel ziehst:

Von -8/5 bis 2/5 sind es 10/5=2 Einheiten

Von 1/5 bis -19/5 sind es 20/5=4 Einheiten.

2²+4²=4+16=20

Die Wurzel aus 20 ist 4,472 oder 2*√5

Herzliche Grüße,

Willy