Komplexe Stetigkeit?
Kann mir hier jemand erklären wie man die beiden einseitigen Grenzwerte hier ausrechnet und warum da verschiedene Ergebnisse rauskommen?
2 Antworten
Überlege mal was passiert, wenn du dir nur die Punkte (x,0) anschaust. Jeder einzelne dieser Punkte wird abgebildet auf
f((x,0)) = (1,0), du hast also eine konstante Folge, also ist auch der Grenzwert der Punkt (1,0). Da nämlich der Winkel konstant bleibt, ist auch der Funktionswert konstant, das sieht man (und darum steht das da auch), wenn man das in Polarkoordinaten schreibt (der Funktionswert ist nicht von r, sondern nur von φ abhängig).
Lass dich nicht verwirren durch die Schreibweise. Wenn da als Grenzwert 1 steht, ist ganz streng genommen der Punkt (1,0) oder die komplexe Zahl 1 + 0i gemeint. Da der imaginäre Anteil gerade 0 ist, lässt man ihn weg, und schon steht da nur noch 1. Du kannst ja einfach mal mit dem Finger den rechten Teil der x-Achse von ganz rechts gegen 0 laufen lassen und dir überlegen, dass jeder Punkt über den du gehst, auf (1,0) abgebildet wird. Machst du dasselbe von links, dann wird jeder Punkt auf (-1,0) abgebildet.
Für x => 0 und x<> 0 gilt analog: lim 0^x = 0 ; lim a^x = 1 für 0 < a ; und lim x^x = 1 .