Körperhomomorphismus. z.z.: f ist injektiv. Beweis?

Hallo, 

kann mir jemand hier weiterhelfen: 

Seien K und L Körper und f:K→L ein Körperhomomorphismus. Z.z.: f ist injektiv. (Beweis) 

Vielen Dank im Voraus. LG.

Answer 1

[Willibergi]

Tatsächlich ist es so, dass jeder Körperhomomorphismus injektiv ist.

Sei

$f(a) = f(b) \implies f(a - b) = 0$

dann wollen wir a = b zeigen - am elementarsten geht das per Widerspruch. Denn wäre

$a - b \neq 0 \qquad (\star)$

dann hätte es ein multiplikatives Inverses und wir könnten schreiben

$\dfrac{1}{a-b} (a - b) = 1$

und damit

$0 = f\left( \dfrac{1}{a-b} \right) \cdot 0 = f \left( \dfrac{1}{a-b} \right) \cdot f(a - b) = f\left( \dfrac{a-b}{a-b} \right) = f(1) = 1$

und landen beim Widerspruch 0 = 1. Also gilt (⋆) nicht, sondern

$a - b = 0 \implies a = b$

und wir haben Injektivität gezeigt.

Alternativ zum Widerspruchsbeweis könnte man auch mit den Einheiten argumentieren (was unter der Haube aber genau derselbe Beweis ist): Statt (⋆) könnte man auch damit argumentieren, dass das Bild null ist und damit keine Einheit des Zielkörpers. Nachdem aber in einem Körper alles Einheiten sind außer die Null, muss die Differenz null sein:

$f(K^\times) \subseteq f(L^\times) = L \setminus \{ 0 \}$ $\stackrel{f(a-b) = 0}{\implies} a - b \notin K^\times = K \setminus \{ 0 \}$ $\stackrel{K \setminus K^\times = \{0\}}{\implies} a- b = 0 \implies a = b$

LG

Comments

[lsc55]

Vielen Dank!

[Sara7061]

Wie kommt man darauf dass f(a-b)=0? Besonders da für den Widerspruch a-b!=0 ist?

[Willibergi]

@Sara7061

Subtrahieren und die Homomorphismus-Eigenschaft nutzen: Mit f(a) = f(b) ist f(a) - f(b) = 0 also (da f Homomorphismus) auch f(a - b) = 0.

Answer 2

[MeRoXas]

Stimmt doch gar nicht. Betrachte zum Beispiel die Nullabbildung von K nach L. Ist das ein Körperhomomorphismus, der injektiv ist?

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Höheres Fachsemester

Comments

[lsc55]

weiß ich nicht, das war die Aufgabenstellung ;-) Vermutlich soll dann im Lösungsweg erkenntlich sein, dass der Schüler verstanden hat, dass f nicht injektiv ist und die Aufgabenstellung ist eine absichtliche Irreführung. Danke Dir!

[Willibergi]

Die Nullabbildung ist aber kein Körperhomomorphismus, weil man in Körpern üblicherweise 1 ≠ 0 fordert.

[MeRoXas]

@Willibergi

Stimmt. Ich habe die Bedingung f(1_K)=1_L nicht bedacht. Meine Überlegung gilt also linearen Abbildungen, nicht Körperhomomorphismen.

[MeRoXas]

@MeRoXas

K und L dann natürlich als Vektorräume.