keplersche Gesetze Umlaufdauer eines Satelliten berechnen?

Hi , ich schreibe in 2 Wochen eine Arbeit über Astronomie, und nun jetzt bei den keplerschen gesetzen agekommen mit dem lernen. Doch jetzt komme ich bei einer Aufgabe nicht mehr wirklich weiter. Man soll die Umlaufdauer eines Satelliten berechnen, der in 500km über der erde kreist. der Mond ist 384000km von der erda entfernt und kreist in 27,3 tagen um die erde. Der erdraius beträgt 6370 km. ich weiss das man da irgendwie mit der formel vom dritten keplerschen gesetz das machen muss, aber irgendwie kommt bei mir da was anderes raus als in der schule. kennt sich da jemand aus? Und kann mir daas jemand erklären?

3 Antworten

NoHumanBeing

13.11.2016, 16:15

Erstmal die Entfernungen der beiden Objekten vom Erdmittelpunkt ausrechnen.

a1 = 500 km + 6370 km = 6870 km
a2 = 384000 km + 6370 km = 390370 km

Dann wissen wir noch die Umlaufzeit des zweiten Objekts.

T2 = 27.3 d

3. Kepler: T^2 / a^3 = konst.

(T1)^2 / (a1)^3 = (T2)^2 / (a2)^3
(T1)^2 = (T2)^2 * (a1)^3 / (a2)^3
T1 = sqrt((T2)^2 * (a1)^3 / (a2)^3)
T1 = sqrt((27.3 d)^2 * (6870 km)^3 / (390370 km)^3) = 0.0637 d
= 1 h 31 min 47 s

riffleeer

Fragesteller

13.11.2016, 16:19

ich hab auch nach der formel für das dritte keplersche gesetz gesucht, aber da kam dann (T1)^2 / (T2)^2= (a1)^3/ (a2)^3...

was hat das zu bedeuten?

NoHumanBeing

13.11.2016, 16:31

@riffleeer

Ist das gleiche. Du kannst eins ins andere durch äquivalente Umformungen überführen.

Gehen wir zunächst von "Deiner Variante" aus.

(T1)^2 / (T2)^2 = (a1)^3 / (a2)^3

Beide Seiten multiplizieren mit (T2)^2 / (a1)^3.

((T1)^2 / (T2)^2) * ((T2)^2 / (a1)^3) = ((a1)^3 / (a2)^3) * ((T2)^2 / (a1)^3)

Auf einen Bruchstrich schreiben.

((T1)^2 * (T2)^2) / ((T2)^2 * (a1)^3) = ((a1)^3 * (T2)^2) / ((a2)^3 * (a1)^3)

Kürzen.

(T1)^2 / (a1)^3 = (T2)^2 / (a2)^3

Schon haben wir "meine Variante". ;-)

Der Vorteil "meiner Variante" ist, dass sie mit beliebig vielen Körpern funktioniert. Wir könnten sie einfach beliebig fortsetzen.

(T1)^2 / (a1)^3 = (T2)^2 / (a2)^3 = (T3)^2 / (a3)^3 = ...

Zum anderen ist T^2 / a^3 eben auch sonst eine wichtige Kenngröße, denn ...

T^2 / a^3 = (4 * Pi^2) / (G * (M + m))

Mit der Umlaufdauer T, der großen Halbachse a, der Kreiskonstante Pi, der Newton'schen Gravitationskonstante G, der Masse des Zentralgestirns M und der Masse des umlaufenden Körpers m.

Aus diesem Grund hat diese Schreibweise ein paar Vorteile. ;-)

riffleeer

Fragesteller

13.11.2016, 16:43

kannst du mir vllt auch noch das zweite ekplersche gesetz erklären, wenn man einen Satelliten in einer ellipsenbahn hat die um die erde geht und sein erdnächster Abstand 300km beträgt und seit entferntester 2000km, wie man dann die geschwindigkeit an diesen zwei stellen rausfinden kann?