Keine Nullstellen?
Eine Sache, die mir bei Aufgaben zur Funktionsuntersuchung immer etwas schwer fallen, ist die mathematische Herleitung vom Beweis, dass eine Funktion keine Nullstellen hat.
Beispiel: Die e-Funktion f(x)= x * e^-2x + 2
Wie beweise ich rechnerisch oder auch mathematisch, dass die Funktion niemals Null werden kann?
6 Antworten
Du hast die Formel nicht exakt aufgeschrieben, denn es gibt mehrere Interpretationen:
a) 0=x * e^(-2x)+ 2 -> hat Nullstelle bei -LambertW(4)/2 = -0.60108393659852146961... (habe ich hier schon zig mal beschrieben http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php )
b) 0=|x| * e^(-2x)+ 2 hat nur Nullstellen im komplexen Zahlenbereich (also keine bei Euren reellen Zahlen) -> kann man mit 3 Fällen beweisen: <0 ; 0 ; > 0
c) 0=x * e^(-2)*x+ 2 = 1/e² * x² +2 -> quadratische Gleichung
kann man mit pq-Formel beweisen, dass nur komplexe Nullstellen -> also keine im reellen Zahlenbereich
Kannst du mir vielleicht einen kleinen Tipp geben, wie ich zu der Nullstelle gelange?
Mit Schulmitteln geht das nicht. Was du machen kannst, ist halt eine ungefähre Lösung aus der Zeichnung ablesen.
Da mein LINK und meine zig Antworten ignoriert wurden (und LambertW als Umkehrfunktion von x * e^x in der Schule auch nicht bekannt ist)
zeige ich, wie man eine selbstkonvergierende Iterationsformel erstellt:
0=x * e^(-2x)+ 2 | -2
-2 = x * e^(-2x) | /x
e^(-2x) = -2/x | log
-2x = log(-2/x) | /(-2)
x = -log(-2/x)/2
Man startet nun mit einem geschätzten Näherungswert (hier -0.5), und setzt diesen in die Formel ein.
Da die Formel konvergiert (gegen einen Grenzwert strebt) ist das Ergebnis ein besserer Näherungswert, als der Startwert.
Das ganze so lange, bis gewünschte Genauigkeit erreicht.
http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm##@N@B0]=-0.5;@N@Bi+1]=-log(-2/@Bi])/2;@Ni%3E199@N0@N0@N#
(LINK endet mit N# und beinhaltet Formel )
Nach etwa 186 Iterationen ist die double-Genauigkeit erreicht.
Später lenst Du, wie man z.B. mit Newton Iteration die Konvergenzgeschwindigkeit verbessern kann. ( weniger als 7 Iterationen)
Achtung: manchmal sind es Fangfragen und der Wertebereich ist wichtig. Wenn x> 0 sein soll, bekommt man keine reelle Nullstelle.
mit x als Vorfaktor und der 2 als konstantem Glied, weiß ich nicht,
aber bei e^(ax) = 0 → ax = ln 0 und ln 0 ist nicht definiert.
Stimmt, sorry :P Hab die Formel nicht richtig aufgeschrieben. Der zutreffende ist Fall a) x * e^(-2x)+ 2 mit einer Nullstelle bei -0,601...usw.
Ich werde diese Aufgabe morgen in Mathe mal ansprechen, aber es wäre cool, wenn ich dann schon mit Wissen glänzen könnte... Kannst du mir vielleicht einen kleinen Tipp geben, wie ich zu der Nullstelle gelange? Wäre zwar besser, ich würde allein drauf kommen, aber ich stehe total auf dem Schlauch, wegen dem ^-2x. :( Wie bekomme ich das bloß weg?
Ich hatte mir die Funktion von einem Programm zeichnen lassen, aber falsch angegeben, und deshalb hat es mir dann eine Funktion ohne Nullstellen gezeichnet und ich nahm an, das würde stimmen