Kann mir jemand bitteren Physik helfen?
Ich habe eine Aufgabe, wobei ich nicht mehr weiterkomme. Ich wäre dankbar wenn jemand mir hilft.
Aufgabe: Ein Auto fährt mit 80,0 km/h an einer Geschwindigkeitskontrolle vorbei. Die Polizeibeamten beginnen die Verfolgung des Wagens mit einem Rückstand von 100 m und einer konstanten Beschleunigung von 4,00 m/s2
Nach wieviel Metern haben die Beamten den Raser eingeholt?
(Vorgehensweise: Bewegungsgleichungen für beide Fahrzeuge aufstellen, Gleichsetzen, Zeit über p-q-Formel, Weg berechnen)
2 Antworten
Um herauszufinden, wie viele Meter die Polizeibeamten zurücklegen müssen, um den Raser einzuholen, müssen wir die Gleichungen für Beschleunigung und Geschwindigkeit verwenden.
Da die Polizeibeamten mit einer konstanten Beschleunigung von 4,00 m/s2 hinter dem Raser zurückfallen und dieser mit 80,0 km/h (entspricht 22,222 m/s) unterwegs ist, können wir die Gleichung:
v = u + a*t verwenden, um herauszufinden, wie lange die Beamten beschleunigen müssen, um den Raser einzuholen.
22,222 m/s = 0 m/s + 4,00 m/s2 * t
t = 22,222 m/s / 4,00 m/s2 = 5,556 s
Um herauszufinden, wie viele Meter die Beamten zurücklegen müssen, um den Raser einzuholen, können wir die Gleichung s = u*t + (1/2)at^2 verwenden.
Da die Anfangsgeschwindigkeit 0 m/s is
Hallo adelkamran,
es ist schon die halbe Miete, wenn Du es schaffst, die Textaufgabe in eine Gleichung zu übersetzen. Dazu setzt man am besten nicht die Zahlenwerte, sondern Formelzeichen an.
Die Bewegung kann als 1D betrachtet werden, wobei wir die Bewegungsrichtung als x-Richtung in einem Koordinatensystem betrachten. Wo die Polizei steht, setzen wir x=0, und den Zeitpunkt, zu dem das Polizeifahzeug los fährt, setzen wir t=0. Den Vorsprung, den der Raser dann hat, nennen wir x₀.
Die Geschwindigkeit des Rasers nennen wir v (von engl. velocity*)), woraus sich seine Position x als
(1) x = v∙t + x₀
ergibt. Die Beschleunigung Polizeifahzeugs a (nach engl. acceleration). Dann ergibt sich für dessen Geschwindigkeit
(2.1) vₚ = a∙t
und für seine Position
(2.2) xₚ = ½∙a∙t²,
was man sich anhand von t-v- Diagrammen klar machen kann.
Abb. 1: Vergleich konstante Geschwindigkeit vs. konstante Beschleunigung. Die zu einem Zeitpunkt t₁ gefahrene Strecke x(t) ist im t-v- Diagramm die Fläche zwischen t-Achse und dem v(t)- Graphen zwischen t = 0 und t = t₁, die links ein Rechteck mit fester Höhe v und rechts ein Dreieck mit linear wachsender Höhe a∙t₁ ist, die Hälfte eines Rechtecks der Breite t₁ und der Höhe a∙t₁.
Der Zeitpunkt t₁, wenn das Polizeifahzeug den Raser einholt, ist durch
(3.1) xₚ(t₁) = x(t₁)
bzw.
(3.2) ½∙a∙t₁² = v∙t₁ + x₀
gegeben, die sich durch Subtraktion von v∙t₁ von beiden Seiten zu
(3.3) ½∙a∙t₁² − v∙t₁ = x₀
umformen lässt. Zu guter Letzt wollen wir, dass der t₁²- Term keinen Vorfaktor mehr hat und multiplizieren daher beide Seiten mit 2⁄a:
(3.4) t₁² − 2∙(v⁄a)∙t₁ = 2x₀⁄a
Um x(t₁) = xₚ(t₁) herauszufinden, müssen wir t₁ herausfinden und in (1) oder (2.2) einsetzen. Hier kann, wer Lust hat, die p-q-Formel anwenden; ich ziehe es vor, auf beiden Seiten eine Quadratische Ergänzung einzufügen, die sich aus dem Vorfaktor vor t₁ ergibt:
Man will nämlich, dass links etwas von der Form
t₁² − 2∙t₁∙X + X²
(was immer X ist) zu stehen kommt, weil dies nach der 2. Binomischen Formel dasselbe ist wie
(t₁ − X)²,
woraus man dann die Wurzel ziehen kann, um −X auf der linken Seite schließlich loszuwerden, indem man X auf beiden Seiten addiert. In diesem Fall ist offenbar X = v⁄a:
(3.5) t₁² − 2∙(v⁄a)∙t₁ + (v⁄a)² = 2x₀⁄a + (v⁄a)²
(3.6) (t₁ − v⁄a)² = 2x₀⁄a + (v⁄a)².
Damit gibt es (wie oft bei quadratischen Gleichungen) 2 Lösungen
(4.1) t₁ − 2v⁄a = ±√{2x₀⁄a + (v⁄a)²},
also
(4.2) t₁ = 2v⁄a ± √{2x₀⁄a + (v⁄a)²}.
von denen nur eine Sinn ergeben kann, im Zweifelsfall die mit dem 'plus'.
Jetzt brauchst Du nur wieder die in der Aufgabe genannten Werte für x₀, v und a einzusetzen, aber Vorsicht: Die Einheiten für v und a passen nicht zueinander! Du musst sie für v erst in m⁄s umrechnen, sonst steht da ein Mix aus verschiedenen Längen- und Zeiteinheiten.
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*) Geschwindigkeit im engeren physikalischen Sinne ist eine Vektorgröße, eine Größe mit Richtung; das ist das, was man meint, wenn man velocity sagt. Meint man nur deren Betrag, heißt das auf Englisch speed. Im Deutschen kann man das mit Tempo wiedergeben.
