Kann mir bitte jmd diese Matheaufgabe erklären?

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4 Antworten

Hallo,

löse die Gleichung zunächst nach a auf:

5a+6b+56=ab

5a-ab=-6b-56

a*(5-b)=-6b-56

a=(-6b-56)/(5-b)=(6b+56)/(b-5) nach Erweiterung mit (-1)/(-1)

Nun überleg mal:

eine natürliche Zahl ist eine ganze Zahl, also keine Bruchzahl, die positiv ist.

Für b fällt also schon mal alles weg, was zwischen 1 und 5 liegt, weil der Nenner ansonsten negativ oder gleich Null wird.

Also kommen nur noch Zahlen ab 6 in Frage.

Die 6 geht auf jeden Fall, denn dann wird der Nenner 1; die 1 teilt alles.

Die 7 ist auch ok, weil 6*7+56 auf jeden Fall eine gerade Zahl ergibt und 2 jede gerade Zahl teilt.

Überhaupt kann der Zähler nur gerade sein, egal, was Du für b eingibst.

Wenn du eine 8 eingibst, hast Du im Nenner eine 3, im Zähler aber kann keine durch 3 teilbare Zahl stehen, weil 6b zwar immer durch 3 teilbar ist, aber die +56 alles zunichte macht. Jede Zahl also für b, die im Nenner eine durch 3 teilbare Zahl ergeben würde, funktioniert nicht. Das sind alle Zahlen wie 8,11,14 usw., also alle Zahlen, die herauskommen, wenn Du in 3n+8 irgendeine natürliche Zahl für n eingibst. b darf also nicht gleich 3n+8 sein.

Das Spielchen könntest Du nun bis in alle Ewigkeit weiterführen, Du kannst es Dir aber auch einfacher machen.

Du teilst einfach mal 6b+56 durch b-5 (Polynomdivision)

Da bekommst Du 6+86/(b-5) heraus.

6 ist eine natürliche Zahl. Interessant ist also nur noch der Rest:

86/(b-5), denn auch dies muß eine natürliche Zahl ergeben. Das tut es aber nur, wenn b-5 ein Teiler von 86 ist. Das ist die 1 und die 2 (hatten wir schon), die 43 und die 86.

Das bedeutet, außer 6 und 7 kann b noch 48 oder 91 sein - alles andere führt zu keinem ganzzahligen Teiler von 86 und führt damit zu keiner natürlichen Zahl als Ergebnis.

Herzliche Grüße,

Willy


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Ist zwar etwas weit hergeholt, aber durch Umformen nach a oder b erkennt man alle möglichen natürlichen Zahlen, die eingesetzt werden können:

nach b umformen:

5a+6b+56=ab                  |-6b
5a+56=ab-6b                   |b ausklammern
5a+56=(a-6)b                   |:(a-6)
b=(5a+56)/(a-6)               |das jetzt mit Hilfe der Polynomdivision aufteilen
b=5+86/(a-6)

Damit b eine ganze Zahl ist muss 86 durch einen seiner Teiler geteilt werden, also durch 1,2 oder 43.
Also muss a-6 einen dieser Teiler ergeben, d. h. a1=7; a2=8; a3=49

Lösungen: (a;b) = (7;91); (8;48); (49;7)

Jetzt noch nach a umformen und die weiteren Möglichkeiten auf die gleiche Art ermitteln...

(Geht wahrscheinlich eleganter und unkomplizierter, aber ich sehs grade nicht...)

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Kommentar von Willy1729
09.11.2016, 11:11

Du hast die 86 als Teiler vergessen. B=91, a=7

Herzliche Grüße,

Willy

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Wenn man es tabellarisch macht, dann doch am besten b in a ausdrücken und a laufen lassen.

Mit wenig Mühe sieht man, dass b = (5x + 56) / (a - 6)
Ist und kann loslegen.
Aber nur mit einem Rechner, der Formeln begreifen kann, sonst Excel.

a = 6 muss man auslassen wegen Division durch 0.
a = 7 ergibt dann b = 91

und danach gelegentlich weitere Treffer.

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5a + 6b = ab - 56

Mach dir eine Tabelle und fang für a und b (für ab) mit Zahlen an, die größer 56 ergeben, denn es sollen ja natürliche Zahlen sein!

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Kommentar von Willy1729
09.11.2016, 10:43

Für Schüler kann das in Beschäftigungstherapie ausarten.

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