Kann jemand die Definition über den Grenzwert bzw. Limes und Konvergenz in einfach erklären?
Gerade dieser Teil:
verwirrt mich sehr, warum ist an-a kleiner Epsilon und nicht vielleicht auch kleiner gleich Epsilon? Und warum kleiner Epsilon und nicht vielleicht auch größer?
2 Antworten
Du kannst es dir so vorstellen: Wenn die Folge konvergiert, dann hat sie einen Grenzwert a. Das bedeutet: du kannst um dieses a einen kleinen Kreis malen - und ab irgendeinem Folgenglied liegen alle Folgenglieder innerhalb dieses Kreises.
Der Durchmesser dieses Kreises ist das Epsilon, und dieses Epsilon kann beliebig klein sein - aber nicht 0 und auch nicht negativ.
Und das Folgenglied, ab dem alle folgenden Glieder innerhalb des Kreises liegen, ist eben das N (das von epsilon abhängt).
Wenn du das a erreichst, ist das auch ok. Ein Grenzwert darf auch erreicht werden, das ist kein Problem. Die Folge 1,1,1,1,1,1,1,1.... konvergiert gegen 1.
Und es kann auch passieren, dass die Folgenglieder hin und her springen:
0, 1/2, 0, 1/4 , 0 , 1/8, 0 ... konvergiert auch gegen 0.
Der Grenzwert ist immer das wonach man sich nähert oder? Also wenn meine Fogle gegen 1 geht, ist mein Grenzwert dann die 1?
Ja, genau. Also das a aus der Definition. Das kann erreicht werden, muss aber nicht. Wichtig ist nur, dass die Folgenglieder ab einem bestimmten n alle dicht genug (also weniger als ein beliebig kleines epsilon > 0 ) dran liegen.
So wäre z. B. die Folge 0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,... nicht konvergent - die Einsen werden zwar immer seltener, aber egal, wie weit ich in der Folge schaue, irgendwann springt die Folge wieder von der 0 weg. Wenn ich dann etwa epsilon = 1/2 wähle, sind nie ALLE folgenden Folgenglieder innerhalb des Kreises.
Konvergenz gegen a bedeutet, dass man ε beliebig klein wählen kann, aber immer ab einem Folgenglied alle Werte sich um weniger als ε von a unterscheiden. Man könnte statt strikt kleiner auch kleiner oder gleich verwenden, weil man zu jedem ε ein noch kleineres wählen kann, sodass die Abstände dann alle strikt kleiner als das ursprüngliche sind.
Danke, aber wenn ich z. B. sage ε wäre -100000000 und meine Werte unterscheiden sich um 10, dann ist doch der unterschied mehr als ε von a oder nicht? Wobei es steht ja, dass ε größer 0 sein muss, aber wenn ich sage ε sei 0,1 und mein UNterschied ist 10, dann passt das ja eigentlich nicht, wenn ich ε beliebig wählen darf?
ε > 0
und es muss nicht alles kleiner sein sondern ab einem bestimmten Glied, sonst konvergiert es nicht
aso danke, aber epsilon darf auch 0 sein oder? Weil wenn ich z. B. eine 0 Folge habe, ist es dann so, dass meine Folge unendlich sein muss oder darf sie auch mal die 0 erreichen?
Nein. Wenn ich epsilon = 0 setze, dann müsste die Folge ab einem gewissen Punkt konstant werden. Das ist dann zwar auch eine konvergente Folge - aber im allgemeinen sind konvergente Folgen nicht irgendwann konstant. Entscheidend ist, dass mit einem beliebig kleinen Abstand alle Folgenglieder erwischt würden. Würde ich epsilon = 0 zulassen, wären nur noch die Folgen konvergent, die irgendwann konstant sind.
Aber ich erreiche dieses a nie oder? Ich nähere mich nur dem a? Z. B. wenn meine Folge gegen 0 geht, heißt es ich konvergiere gegen 0 oder? Also mein a wäre dann 0? Aber ich erreiche nie die 0, dann ist es eine Folge die gegen a, in dem Falle gegen 0, konvergiert oder?