Ist jede Wurzel, die nicht ganzzahlig ist, irrational?

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8 Antworten

Deine Vermutung ist in der Tat richtig.

Für jede natürliche Zahl n ist √n entweder wieder eine ganze Zahl oder eine irrationale Zahl. Man kann das mittels Zerlegung in Primfaktoren zeigen.

Nehmen wir dein Beispiel √34

Gäbe es eine rationale Zahl p/q mit

√34 = p/q, hierbei sollen p und q keine gemeinsamen Faktoren haben, sonst wird so lange gekürzt, bis das der Fall ist.

Dann muss auch sein:

34 = 2 * 17 = p²/q², oder

2 * 17 * q² = p²

Wegen den Zweierpotenzen von p und q kommen auf der linken Seite die Primfaktoren 2 und 17 in einer ungeraden Anzahl vor, rechts - wenn überhaupt - in einer geraden. Damit gibt es für diese Gleichung keine Lösung.

Wenn man das für den allgemeinen Fall durchexerziert kommt raus, dass wenn überhaupt, nur Lösungen möglich sind, wenn q=1, also die Wurzel eine natürliche Zahl ist, ansonsten ist das Ergebnis eben irrational.

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nein, nicht zwingend. Denn eine irrationale Zahl ist eine Zahl, die nicht durch ein Verhältnis von zwei ganzen Zahlen dargestellt werden kann. Dies heisst aber nicht, dass das Ergebnis eine ganze Zahl sein muss.

Beispiel: 3/2 ist keine irrationale Zahl

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Bei ganzzahligen Zahlen stimmt die Aussage. Die Kurzversion des Beweises ist: Beim Quadrieren wird die Anzahl aller Primfaktoren verdoppelt, beim Wurzelziehen halbiert. Es sind also nur die Wurzeln der ganzen Zahlen ganzzahlig, bei denen jeder Primfaktor in gerader Anzahl vorkommt, die anderen sind irrational.

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Also es müssen zwei Fälle unterschieden werden:

1. sqrt(x) mit ganzzahligen, nicht negativen x. Dann ist die Wurzel tatsächlich genau dann irrational, wenn x keine Quadratzahl ist, also insbesondere kein Quadrat ganzer Zahlen.

2. sqrt(x) mit rationalen, nicht negativen x. Dann ist die Wurzel irrational wenn x kein Quadrat von rationalen Zahlen ist. sqrt(9/4) = 3/2 ist also rational.

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So wie du das formuliert hast, stimmt das nicht. Beispielsweise ist die Zahl 2.5 die Quadratwurzel von 6.25 , also eben  √(6.25) = 2.5 . Und diese Quadratwurzel 2.5 ist nun zwar nicht ganzzahlig, aber auch nicht irrational.

Ich weiß aber, was vermutlich gemeint war:

"Ist jede  Quadratwurzel  w = √(n)  stets irrational, falls  n eine ganze positive Zahl und √(n) nicht ganzzahlig ist ?"

Die Antwort auf diese Frage ist tatsächlich ein JA . Natürlich muss diese Aussage erst bewiesen werden. Der Beweis geht im Prinzip analog wie in dem üblichen Beweis für die Irrationalität von √(2) .  

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Kommentar von 2243394416
28.09.2016, 15:17

Ich frage wegen der pq-Formel. Wenn ich dann in der Wurzel eine irrationale Zahl habe und die dann am Ende nicht mehr ausrechne.

z.B. meine ich:

x=5-√13 v x=5+√13

Wie erkenne ich, dass ich das dann so stehen lasse, weil 13 eine irrationale Zahl ist? Ich könnte ja auch im Taschenrechner √13 eintippen und einen Wert aufschreiben. Ist nunmal schwierig, wenn 13 irrational ist

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Nein. Quadriere doch einfach eine rationale Zahl. Die Wurzel von dem Quadrat ist... Trommelwirbel... rational. ;)

Oder nimm die Wurzel aus einer negativen Zahl. Die ist komplex.

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Wenn du nur Wurzeln aus ganzen Zahlen betrachtest, ja.

Sonst natürlich nicht, denn jede rationale Zahl lässt sich
quadrieren, und die Wurzel aus dem Ergebnis ist
definitionsgemäß rational.

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Faustregel: Eine reelle Zahl (Integer oder Fließkomma) ist irrational, wenn sie nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann. Also Zahlen, deren Nachkommastellen nicht abbrechen (also unendlich sind) und nicht periodisch sind, zb pi oder die Eulersche Zahl sind irrational.

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