Warum ist Wurzel 15 irrational?

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2 Antworten

@stayxhated: Für Schwindelfreie...


Sei n ≠ 0 eine natürliche Zahl mit einer rationalen Qaudratwurzel, also

√n = a/b ⇒ n = a²/b²

wobei a, b natürliche Zahlen sind. Ein beliebiger Primfaktor f sei

x-mal in a und y-mal in b

enthalten ( = f^x ist Teiler von a, f^y ist Teiler von b). Dann ist f

2x-mal in a² und 2y-mal in b²

enthalten ( f^(2x) ist Teiler von a², f^(2y) ist Teiler von b²), nach vollständigem Kürzen also

0 ≤ 2(x-y)-mal in n

enthalten ( f^(2(x-y)) ist Teiler von n ).

Also enthält n den Primfaktor f in einer geraden Anzahl von Malen ( = als Potenz mit geradem Exponenten) als Faktor. Dies gilt für jeden Primfaktor f von n.

Da die Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl eindeutig ist, sind alle Primfaktoren von n als Potenzen mit jeweils geradem Exponenten enthalten, wenn (nur) n eine rationale Wurzel hat.


15 = 3 * 5 = 3^1 * 5^1 hat zwei Primfaktoren in ungerader Potenz (nämlich jeweils "1"); also ist √15 irrational.

Ebenso jede natürliche Zahl n, die nicht Quadratzahl einer anderen natürlichen Zahl m ist (denn dann und nur dann enthält n alle Primfaktoren von m jeweils in einer geraden Potenz als Faktor).

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Kommentar von JayPtoya
04.12.2013, 20:41

Vielen Dank!

Genau was ich gesucht habe und endlich mal eine verständliche und praktische Gleichung!

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Der Ansatz bleibt gleich. Du kannst sagen, dass p durch 3 teilbar ist (da 15q² durch 3 teilbar ist). das dann wie bei der Wurzel von 2 auflösen. Danach den Schritt nochmal mit 3 | q und du bist bei der Ausgangsform.

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