Ist es möglich, dass 100 Geraden in einer Ebene genau 2023 Schnittpunkte haben?
Diese Aufgabe gibt es bei einem Wettstreit unter Mathebegeisterten Freunden von mir, und wir schaffen den Beweis einfach nicht… 😕
1 Antwort
Folgende Überlegung könnte helfen:
n Geraden in einer Ebene haben max. (1 / 2) * (n - 1) * n Schnittpunkte.
Für n = 100 kommt eine Zahl heraus, die viel größer ist als 2023.
Folglich gibt es parallele Geraden, da dadurch die Anzahl der Schnittpunkte reduziert wird.
24 Geraden haben max. 276 Schnittpunkte. Es fehlen 76 Geraden und 1747 Schnittpunkte.
Eine zu einer der vorhandenen 24 Geraden parallelen Gerade würde max. 23 Schnittpunkte erzeugen.
76 * 23 = 1748
Das ist ein Schnittpunkt zuviel.
Wenn aber eine der parallelen Geraden durch einen vorhandenen Schnittpunkt verläuft, entstehen nur 22 statt 23 Schnittpunkte. Also haben wir 276 + 1725 + 22 = 2023 Schnittpunkte.