Ist die Summe aus einer irrationalen Zahl und noch einer irrationalen Zahl immer irrational?

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5 Antworten

MATHEMATISCH!!

In der Mathematik spricht man nicht vom "Nachweis" sondern vom "Beweis".

Nachweise gibt es in empirischen Wissenschaften, also beispielsweise den Naturwissenschaften. Damit kannst du Theorien belegen sodass sie fast(!) als Tatsachen angenommen werden können (falls es genug Belege gibt / diese aussagekräftig genug sind).
Wenn du etwas beweist ist es jedoch unumstößlich wahr. Es kann keinen Zweifel an der Richtigkeit geben.

Der Unterschied zwischen Nachweisen /Belegen und Beweisen wird häufig gemacht, meist jedoch genau andersherum.

Deine eigentliche Frage wurde ja schon beantwortet.

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Nein. Beweis durch ein Gegenbeispiel

Rationale Zahlen sind in der Dezimaldarstellung entweder abbrechend oder periodisch, irrationale Zahlen nicht.

Nimm die irrationale Zahl a = Wurzel(2) = 1.414213.... die Zahl b=2-a=0.585786... ist ebenfalls nicht periodisch oder abbrechend.

Die Summe aus a+b = 2 ist rational.   

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Kommentar von lebaws1
15.09.2016, 13:49

müsstest du hier nicht noch den beweis erbringen, dass b irrational ist?

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Vorweg: fast jeder hier schon (fast) denselben Einwand gegeben. Insofern reicht das aus. Ich ergänze diese lediglich, um einen möglichst allgemeinen Beweis darzustellen.

In ℚ´ scheitern beide der folgenden Eigenschaften:

  • ∀x,y ∈ ℚ´: x+y ∈ ℚ´
  • ∀x,y ∈ ℚ´: x+y ∉ ℚ´

Zur Widerlegung der ersten Aussage: sei x ∈ ℚ´ beliebig (ℚ´≠Ø, also ist dies möglich) und sei y := -x. Dann gilt y ∈ ℚ´ (sonst wären –1, y ∈ ℚ und somit x = -1·y ∈ ℚ—Widerspruch!). Also gilt x, y ∈ ℚ´, jedoch x+y = x+-x = 0 ∉ ℚ´. 

Zur Widerlegung der zweiten Aussage: sei x ∈ ℚ´ beliebig (ℚ´≠Ø, also ist dies möglich) und sei y := x. Dann gilt x, y ∈ ℚ´, und x+y = 2x ∈ ℚ´, (da sonst ½, 2x ∈ ℚ und damit x = ½·(2x) ∈ ℚ—Widerspruch!).

Dieselben Eigenschaften scheitern für Multiplikation und Potenzieren (schwierigerer Beweis).

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Kommentar von Fable67
15.09.2016, 14:47

Eine Frage nochmal kannst du mir erklären was dieses E und dieses A bedeuten?

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Nein. Der Beweis ist simpel durch ein Gegenbeispiel angestellt:

-π + π = 0

0 ist rational, π und -π irrational.

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Nein

Betrachte X1 = +SQRT(2)                   <-- das heisst Wurzel aus 2
         und X2 =  -SQRT(2)

X1 und X2 sind irrational aber X1 + X2 = 0 und damit rational

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