Injektiver Homomorphismus auf symmetrische Gruppe?
Hey Community,
Für folgende Aufgabe bräuchte ich eine Lösung, da wir alle dran scheitern und uns langsam die Zeit knapp wird.
Ich denke man kann die Aufgabe mit dem Satz von Cayley lösen, jedoch ist der Hinweis der Aufgabe verwirrend, weshalb wir das nicht ordentlich lösen können.
Vielen Dank für jede Hilfe!
2 Antworten
Naja. der erste Satz des Hinweises sagt nur, dass du quasi die Elemente umbenennen sollst, also quasi einen Isomorphismus zwischen G und Z/nZ anwendest.
Du sollst jetzt zeigen, dass die linksmultiplikation bijektiv ist, also eben die Abbildung x -> gx für alle g. Wenn du gezeigt hast, dass m_g also bijektiv ist, weißt du dass m_g eine Permutation von G ist. Bedeutet m_g liegt in S_n. Du sollst nun zeigen, dass diese Abbildung G->S_n, g -> m_g ein injektiver Gruppenhomomorphismus ist.
Also die Abbildung, die jedes g auf die Abbildung abbildet, die jedes Element x aus G von links mit g multipliziert.
Also ich denke nicht, dass ihr hier den Satz von Cayley anwenden sollt, denn mit dem Satz folgt die Aussage direkt.
Ihr könnt die Aussage ganz einfach mit dem Gruppenaxiomen zeigen. Stichwort hier ist die Existenz eines Inversen Element in G zu jedem Gruppenelement in G.