Hohlkugel?
Wie soll ich hier vorgehen?
1 Antwort
Aufgabe 15
a)
Aussenradius: r_aussen = Aussendurchmesser / 2 = 2r/2 = r
Innenradius: r_innen = r_aussen - d
Somit haben wir:
r_aussen = r
r_innen = r - d
V_aeussereKugel = 4/3*π * r^3
V_innereKugel= 4/3*π * (r - d)^3
Hohlkugelvolumen V = V_aeussereKugel - V_innereKugel
V= (4/3*π * r^3) - (4/3*π * (r - d)^3) = 4/3*π * (r^3 - (r - d)^3)
V= 4/3*π * (r^3 - (r^3 + 3d^2r - 3dr^2 - d^3)) = 4/3*π (3d^2r - 3dr^2 + d^3)
Diese Lösung ist offensichtlich die selbe wie im Buch, einfach sind die Variablen etwas anders angeordnet.
b)
Hier muss man aufpassen, weil der Radius in Dezimetern ist, d jedoch in Zentimetern. Also sollte man den Radius auch in Zentimeter umrechnen (oder alternativ alles in Dezimeter umrechnen).
Somit: r = 18cm
b1) d=0.1cm -> V=404.893 cm^3
b2) d=0.001cm ---> V=4.071 cm^3
c) Wenn d gegen null strebt (aber gerade noch leicht grösser als null ist), so gilt für das Volumen der Hohlkugel näherungsweise "Volumen gleich Grundfläche der Innenkugel mal Höhe oder der Aussenkugel mal Höhe". Die Grundfläche entspricht der Kugeloberfläche O=4πr^2, die sehr kleine Höhe in diesem Fall wäre wäre d.
Somit V=~ O*d = 4πr^2*d
d) Wir bilden den Grenzwert:
V(r,d) = 4/3*π (3d^2r - 3dr^2 + d^3) # das Resultat von Aufgabe a.
Weiter wissen wir: O =~ V/d für kleine Werte von d.
Wenn d gegen Null strebt, dann gilt O=V/d. Wir können das ausdrücken als Grenzwert:
lim (d->0) V(r,d) / d = lim(d->0) 4/3*π (3d^2r - 3dr^2 + d^3) / d = 4πr^2
Zu verstehen ist meine Schreibweise so:
"Limes von d strebt gegen null der Funktion V(r,d)"