Höhe eines Tetraeders bestimmen

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5 Antworten

Jede Seite des Tetraeders ist 10 cm lang.

Den Begriff "Seite" verwendet man zur Bezeichnung der Flächenbegrenzungen bei ebenen (zweidimensionalen) Figuren. Bei (dreidimensionalen) Körpern nennt man die Flächenbegrenzungen Kanten. Es muss also heißen:

Jede Kante des Tetraeders ist 10 cm lang.

.

Sei

s : die Seitenlänge der Seitendreiecke des Tetraeders,

a : die Länge der Kanten des Tetraeders (a = s = 10 cm )

d: die Höhe der Seitendreiecke

h : die Körperhöhe des Tetraeders

Betrachte zunächst ein Seitendreieck des Tetraeders. Dessen Seiten haben die Länge s. Die Dreieckshöhe d steht senkrecht auf einer der Seiten s und halbiert diese. Sie bildet mit ( s / 2 ) und einer der beiden anderen Seiten s ein rechtwinkliges Dreieck, in dem s die Hypotenuse ist. Also mit Pythagoras :

s ² = d ² + ( s / 2 ) ²

<=>

d ² = s ² - ( s / 2 ) ²

= s ² - ( s ² / 4 )

= ( 3 / 4 ) s ²

Da beim Tetraeder alle Seiten s aller Seitendreiecke gleich lang sind, haben auch alle Höhen d aller Seitendreiecke die gleiche Länge.

.

Betrchte nun den Tetraeder: Seine Körperhöhe h steht senkrecht auf den Seitenhöhen d seiner Grundfläche. Ihr Fußpunkt teilt diese Seitenhöhen im Verhältnis 2 : 1, also in zwei Teilstrecken d1 = ( 1 / 3 ) d und d2 = ( 2 / 3 ) d. Die Körperhöhe h bildet mit s1 und der Seitenhöhe d eines der Seitendreiecke ein rechtwinkliges Dreieck, in dem die Seitenhöhe d die Hypotenuse ist. Also mit Pythagoras:

d ² = h ² + d1 ²

<=>

h ² = d ² - d1 ²

= d ² - ( ( 1 / 3 ) d ) ²

= d ² - ( 1 / 9 ) d ²

= ( 8 / 9 ) d ²

= ( 8 / 9 ) * ( 3 / 4 ) s ²

= ( 24 / 36 ) s ²

= ( 2 / 3 ) s ²

[und wegen s = a:]

= ( 2 / 3 ) a ²

<=>

h = Wurzel ( ( 2 / 3 ) a ² )

= a * Wurzel ( 2 / 3 )

= a * Wurzel ( 6 / 9 )

= a * Wurzel ( 1 / 9 ) * Wurzel ( 6 )

= a * ( 1 / 3 ) * Wurzel ( 6 )

= ( a / 3 ) * Wurzel ( 6 )

Die Körperhöhe h eines Tetraeders ist also gleich einem Drittel seiner Kantenlänge multipliziert mit der Quadratwurzel aus 6.

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skizze mit 3 höhen in der grundfläche; di höhen sind seitenhalbierende und schneiden sich im verhältnis 1:2 und eine höhe im gleichs. dreieck ausrechnen; dann pythagoras mit körperhohe und seitenlänge und 2 teile der seitenhöhe. :)

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Kommentar von TheLea1ael
15.10.2011, 23:42

willst du mir pythagoras zeigen? also die rechnung?

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http://de.wikipedia.org/wiki/Tetraeder wenn du die herleitung nicht schaffst, kannst du die formel benutzen; körperhöhe= a/3 * wurzel 6 also H=3,33 * wurzel 6 = 8,1568 cm

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du zeichnest nen 5seitigen stern mithilfe vom geodreieck (teile 360 durch 5, dann weißt du, wie weit die abstände zwischen den strichen sein müssen, dann ziehst du von jedem strich zu nem anderen nen 10 cm abstand. musst nur beachten, dass die beiden striche, die du immer verbindest, den gleichen abstand zum mittelpunkt haben müssen. dann hast du des 5eck und kannst die höhe abmessen:D)

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Kommentar von TheLea1ael
15.10.2011, 23:08

ich brauch eine rechnung...

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das ist richtig arbeit; berechne erst mal die höhe vom gleichseitigen dreieck

a²= h² + (a/2)² dann kann ich weiter helfen

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