Hauptachsentransformation?
Ich habe folgende Gleichung eines Kegelschnitts: 3x²+2xy+3y²+6x+2y+1=0. Ich muss diese Gleichung "vereinfachen", indem ich eine Hauptachsentransformation durchführe.
Ich habe schon durch Analyse der Determinante, bzw. Eigenwerte früh herausgefunden, dass es sich um eine Ellipse handelt. Die "vereinfachte" Gleichung stimmt mit der Lösung meiner Lehrperson aber nicht überein. Statt 2*sqrt(2) hat er -2*sqrt(2), ich sehe den Fehler bei mit aber nicht.
1 Antwort
Du hast nichts falsch gemacht, deine Lehrperson auch nicht.
EINE Hauptachsentransformation dreht das Objekt so, dass die Achsen des Objekts parallel zu den Koordinatenachsen liegen. Dafür gibt es aber nicht nur eine Lösung, darum sagt man ja auch nicht "die Hauptachsentransformation", sondern "eine".
Du hast für den ersten Eigenvektor den Vektor (1,-1) gewählt. Genauso gut hättest du aber auch (-1, 1) nehmen können, auch das ist ja eine zulässige Lösung. Rechne doch einfach mal mit der (-1,1), dann kommst du zu der Lösung deiner Lehrperson.
Du hättest auch die beiden Eigenwerte tauschen können, auch das ändert ja nix an der Korrektheit. Damit würdest du dann die Ellipse um 90° drehen, dann würden ihre Achsen auch wieder parallel zu den Koordinatenachsen liegen.
Jede dieser Entscheidung führt zu einer anderen Form.