Hat dieses kubische Polynom reelle Nullstellen?
Seien Q die rationalen Zahlen, f ein Polynom in Q[x] und und Q(a) eine Körpererweiterung, wobei a eine reelle Zahl ist (z.B. irrational), in der
f vollständig in Linearfaktoren zerfällt. Also f hat alle seine Nullstellen in Q(a) womit Q(a) der Zerfällungskörper ist vom Grad n = deg(f) über Q.
Frage: Sind alle Nullstellen von f reell? Kurze Antwort bitte
3 Antworten
„Hat dieses kubische Polynom reelle Nullstellen?“
Welches ist „dieses kubische Polynom“? In der Fragenbeschreibung ist von einem Polynom f die Rede, welches aber nicht unbedingt kubisch sein muss, sondern allgemein Grad n haben kann.
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Ein kubisches Polynom (also: ein Polynom 3. Grades) mit reellen Koeffizienten (also insbesondere auch mit rationalen Koeffizienten) hat immer mindestens eine reelle Nullstelle. Ob alle Nullstellen (im Zerfällungskörper) reell sind, ist hingegen eine andere Frage.
Wenn es um ein solches Polynom, wie in der Fragenbeschreibung beschrieben, geht... Q(a) ist eine Teilmenge der reellen Zahlen (da Q Teilmenge der reellen Zahlen ist und a eine reelle Zahl ist). Und da f über Q(a) vollständig in Linearfaktoren zerfällt und dementsprechend auch jede Nullstelle von f in Q(a) liegt, ist jede Nullstelle von f dann insbesondere auch eine reelle Zahl.
Die Antwort wäre also dann dementsprechend: Ja.
Wenn a reell ist, dann ist Q(a) ja eh eine Teilmenge der reellen Zahlen. Wenn also jede Nullstelle von f in Q(a) liegt, ist somit auch jede Nullstelle von f reell.
Bist du nicht der Meinung das du mit solchen Fragen in einem Mathematikforum wie z.B. https://matheplanet.de/ besser aufgehoben bist? Hier gibt es zwar studierte Mathematiker (mich z.B. :-)), aber die wenigsten können auf solch spezielle Fragen der Algebra antworten (z.B. ich kann es nicht).
Dann solltest du an deiner Formulierungsfähigkeit für mathematische Themen arbeiten. Es gibt nebenbei auch noch Kommolitonninen und Kommolitonen sowie die Dozentinnen und Dozenten die du fragen kannst.
Da antworten mir sogar weniger :(