Hallo, kann mir jemand bei einer Matheaufgabe helfen?
Ich habe mit meiner Freundin Mathe gelernt und wir sind dabei auf eine Frage gestoßen, die wir beide nicht verstehen. Könntet ihr mir vielleicht helfen?
Die Aufgabe lautet wie folgt: Eine gläserne Pyramide (wie vor dem Louvre) hat die Höhe 6m und von der quadratischen Grundfläche kennt man A(2/1/0), B(5/-3/0) und D(6/4/0). (Angaben in m) a) Bestimme Punkt C so, dass die Grundfläche quadratisch ist. Bestimme die Koordinaten der Spitze. b) Berechne das Volumen der Pyramide. c) Eine punktförmige Lichtquelle in L(30/0/0) strahlt abends die Pyramide an. Diese wirft einen Schatten auf ein 8m hohes benachbartes Gebäude, das durch die x2x3-Ebene beschrieben wird. Untersuche, ob der Schatten der Pyramidenspitze auf dem benachbarten Gebäude zu sehen ist.
Ich freue ich auf eure Antworten. mit freundlichen Grüßen
VIELLERNERIN
2 Antworten
Hallo,
C läßt sich leicht berechnen, weil Du mit denselben Werten von A auf B kommst, wie von D auf C.
(2/1/0)+(3/-4/0)=(5/-3/0)
(3/-4/0) ist somit der Verschiebungsvektor, um von D auf C zu kommen.
(6/4/0)+(3/-4/0)=(9/0/0), Punkt C.
Um die Koordinaten der Spitze zu berechnen, brauchst Du zunächst einmal den Schnittpunkt zwischen den Diagonalen der quadratischen Grundfläche. Die Diagonalen eines Quadrates halbieren sich bekanntlich gegenseitig. Der Schnittpunkt der Diagonalen liegt somit auf der halben Strecke C-A bzw D-B
C-A=(9/0/0)-(2/1/0)=(7/-1/0) Mit C als Stützvektor erhältst Du den Vektor
(9/0/0)+r*(7/-1/0).
D-B=(1/7/0)
Mit Stützvektor D ergibt das den Vektor (6/4/0)+s*(1/7/0).
Um den Schnittpunkt zu ermitteln, setzt Du beide gleich, wobei Du Dir die dritten Koordinaten, die alle Null sind, sparen kannst:
(9/0)+r*(7/-1)=(6/4)+s*(1/7)
Das ergibt das Gleichungssystem:
7r-s=-3
-r-7s=4
s=7r+3 (Gleichung I)
Einsetzen in II:
-r-49r-21=4
50r=-25
r=-0,5
Einsetzen in s=7r+3:
s=-3,5+3=-0,5
Um den Schnittpunkt zu ermitteln, setzt Du nun entweder r oder s in die jeweilige Vektorgleichung ein, z.B. in (6/4/0)+s*(1/7/0):
(6/4/0)-0,5*(1/7/0)=(5,5/0,5/0)
Da die Spitze der Pyramide 6 m senkrecht über diesem Punkt steht, hat sie die Koordinaten (5,5/0,5/6).
Um das Volumen der Pyramide zu bestimmen, berechnest Du den Betrag einer der Grundseiten, z.B. B-A und multiplizierst das Ganze mit 2, weil 2 ein Drittel von 6, der Höhe ist, und das Volumen einer Pyramide die Grundfläche mal ein Drittel Höhe ist.
Da wir bereits den Verschiebungsvektor berechnet hatten, nämlich (3/-4/0), nimmst Du einfach dessen Betrag, also die Wurzel aus (3²+(-4)²+0²)=Wurzel aus 25=5
Das Quadrat ist wieder 25, die Grundfläche also. 25*2=50.
Das Volumen beträgt demnach 50 m³.
Um zu prüfen, ob der Schatten der Spitze auf das Gebäude gegenüber fällt, brauchst Du den Schnittpunkt des Vektors, der Lichtquelle und Spitze verbindet, mit der x2, x3-Ebene. Dessen x3 Koordinate muß zwischen 0 und 8 liegen.
S= Spitze, L=Lichtquelle. S-L=(5,5/0,5/6)-(30/0/0)=(-24,5/0,5/6).
Zusammen mit dem Stützvektor (30/0/0) ergibt diese den Vektor
(30/0/0/)+r*(-24,5/0,5/6)
Die x2,x3-Ebene hat die Form s*(0/1/0)+t*(0/0/1)
Gleichsetzen:
(30/0/0)+r*(-24,5/0,5/6)=s*(0/1/0)+t*(0/0/1)
Gleichungssystem:
-24,5r=-30
0,5r-s=0
6r-t=0
Also ist r=-30/-24,5=60/49
s=0,5r=30/49
t=6r=360/49
r zu kennen reicht aber bereits, weil uns dieser Wert durch den Vektor, auf dem Lichtquelle und Spitze liegen, zum gesuchten Punkt auf der x2,x3-Ebene führt:
(30/0/0)+(60/49)*(-24,5/0,5/6)
Hier interessiert letztlich nur die x3-Koordinate, die angibt, in welcher Höhe der Schatten auf die Gebäudewand trifft:
(60/49)*6=360/49=7,35.
Dieser Wert liegt zwischen 0 und 8; der Schatten trifft die Gebäudewand in einer Höhe von 7,35 m.
Herzliche Grüße,
Willy
naja mit vektoren ist das alles recht einfach zu lösen. erstmal zu teil a
oc = od + ba (vektoren)
du setzt den vektor zwischen a und b einfach an d dran um auf c zu kommen.
vllt hilft dir das schon für die restlichen Aufgaben
Mein Problem ist eher die Aufgabe c. Aber danke für den Ansatz