H-Methode, pascalsches Dreieck?

Hallo,

kann mir bitte jemand die h Methode und das pascalsche Dreieck erklären ? Ich verstehe das so null und mein Lehrer ist nicht so gut im erklären :( danke

Answer 1

[ProfFrink]

Die h-Methode ist schnell erklärt. Es geht um die Bildung einer Ableitung, wobei zunächst zwei benachbarte Punkte an den Stellen x und x+h definiert werden. Es interessiert die Steigung im Punkt x. Der Punkt x+h ist ein Hilfspunkt. Dann werden die Funktionswerte f(x) und f(x+h) berechnet und eingezeichnet. Dann wird ein Steigungsdreieck nach der Formel gebildet. Siehe Bild

Die dünne blaue Linie ist eine Sekante zwischen zwei Punkten und repräsentiert nur annähernd die Steigung im Punkt x. Gesucht ist eigentlich die Tangente im Punkt x. Darum folgt jetzt ein Grenzübergang in dem man h immer kleiner wählt bis zum Grenzübergang h=0. Angedeutet im nächsten Bild, wo die Sekante schon fast der erwarteten Tangente entspricht.

Das Pascalsche Dreieck kommt erst ins Spiel wenn man versucht für die allgemeine Potenzfunktion

$f\left(x\right)=x^n$

eine Ableitung zu finden. Die bekannte Regel

$f'\left(x\right)=nx^{n-1}$

ist ja nicht vom Himmel gefallen, sondern soll mit Hilfe der h-Methode hergeleitet werden. Folglich wird

$f\left(x\right)=x^n$

einfach in die h-Formel eingesetzt

Nun besteht die Herausforderung erst einmal darin einen Ausdruck der Art

$\left(x+h\right)^n$ zu berechnen. Ein Alptraum. Für n=2 ein Kinderspiel

$\left(x+h\right)^2=x^2+2hx+h^2$ Für n=3:

$(x+h)^3=x^3+3hx^2+3h^2x+h^3$

Für n=4:

$\left(x+h\right)^4=x^4+4hx^3+6h^2x^2+4h^3x+h^4$ Spätestens jetzt erkennt man ein Bildungsgesetz bezüglich der Potenzen. x-Potenzen haben fallende Exponenten, h-Potenzen haben steigende Exponenten. Die numerischen Koeffizienten folgen einem eigenen Bildungsgesetz, das mit dem Pascalschen Dreieck beschrieben ist.

Beispielsweise wird der Koeffizient 10 aus der Summe der roten Koeffizienten des Vorgängerzeile gebildet. Dieses Pascalsche Dreieck ist nun bis zum Exponenten n=5 entwickelt. Mit etwas Mühe findet man sogar eine allgemeines Bildungsgesetz für ein allgemeines n und kann somit die Potenz

$\left(x+h\right)^n$ ausschreiben

$\left(x+h\right)^n=x^n+\binom{n}{1}hx^{n-1}+\binom{n}{2}h^2x^{n-2}+....\ +\binom{n}{n-1}h^{n-1}x+h^n$

mit

$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}$

Nun wird der gefundene Ausdruck in die h-Formel eingesetzt

Man sieht von der unendlich langen Summenformel sind nur die ersten drei Glieder dargestellt, vorhanden sind aber alle. Es kommt nun darauf an zu erkennen dass sich das erste Glied (rot) herauszutrahiert. Es verbleibt foldender Ausdruck:

Hier kann man nun den roten Faktor h in der Zählersumme gegen das rote h im Nenner kürzen. Es verbleibt:

Wenn nun der Grenzübergang h -> 0 vollzogen wird dann verschwinden alle Restterme, die noch ein h oder eine Potenz von h enthalten. Es verbleibt

$\frac{df}{dx}=\binom{n}{1}x^{n-1}$

mit

$\binom{n}{1}=\frac{n!}{1!\left(n-1\right)!}=\frac{n!}{\left(n-1\right)!}=\frac{n\left(n-1\right)!}{\left(n-1\right)!}=n$

Somit ist bewiesen

$\frac{df}{dx}=nx^{n-1}$

Hier ein link zur lesbaren Lösung:

https://c.web.de/@334974196981432477/-FP7kFSlTEGIFXC9_hXf4w

Comments

[ProfFrink]

Sorry, gutefrage hat diese Antwort total durchmischt. Bilder erscheinen nicht an der vorgesehen Stellen, stattdessen unten angehängt in ungeplanter Folge. Schade wegen der Mühe.

[Halbrecht]

@ProfFrink

Ärgerlich , aber ich habe es bisher immer geschafft durch über die Fkt "Bearbeiten" alles zu korrigieren.

Ich hoffe nicht ,dass es vom Browser abhängt

[ProfFrink]

@Halbrecht

Habe ich auch versucht. Als ich meine Korrektur gespeichert hatte. War alles wieder zurückgefallen. Aber auf Deine Nachfrage mache ich einen zweiten Anlauf stelle alles neu ein. Ich teile den Beitrag in zwei Hälften. Glaube es waren ein paar Bilder zuviel.

[ProfFrink]

@ProfFrink

Habe gerade einen link zur lesbaren Antwort in die ursprüngliche Antwort eingestellt. War die einzige Möglichkeit, die Antwort zu "retten".

[Halbrecht]

@ProfFrink

Ja ,Bilder sortieren ist schwierig ............Wobei du auch das machst , was ich tue : unbedingt Text zwischen zwei .

[Halbrecht]

@ProfFrink

.Andererseits : der FS hat noch nicht reagiert : Lohnt das die Mühe ?

[ProfFrink]

@Halbrecht

FS?

[Gbglol282]

DANKESCHÖN!!!

Answer 2

[Mathmaninoff, UserMod Light]

Der Differnzialquotient von f an der Stelle x wird berechnet durch $\lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ Das Pascalsche Dreieck ist nützlich, wenn f eine Potenzfunktion ist. Um die Potenz auszumultiplizieren, wendet man den binomischen Lehrsatz an: $(x + h)^n = \binom{n}{0} x^n + \binom{n}{1} x^{n-1}h + \binom{n}{2} x^{n-2}h^2 + \dots + \binom{n}{n-1} xh^{n-1} + \binom{n}{n}xh^n$ Für jedes n bilden die Koeffizienten jeweils eine Zeile im Pascalschen Dreieck. Hier nochmal ausgeschrieben:

(x + h)⁰ = 1
(x + h)¹ = 1x  + 1h
(x + h)² = 1x² + 2xh  +  1h²
(x + h)³ = 1x³ + 3x²h +  3xh²  + 1h³
(x + h)⁴ = 1x⁴ + 4x³h + 10x²h² + 4xh³ + 1h⁴
...

Wenn man also $\lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n - x^n}{h}$ rechnet, wird der erste Summand xⁿ wieder subtrahiert und ein h gekürzt. Wenn h gegen 0 geht, bleibt also jeweils der zweite Summand ohne das h übrig, also

0
1
2x
3x²
4x³
...