Gruppenhomomorphismus (brauche dringend Hilfe:(?
Hallo zsm,
ich komme bei der Aufgabe C überhaupt nicht weiter. Es liegt einfach Daran, dass ich die Abbildung nicht verstehe. Ich verstehe nicht was (Z/7Z)\{[0]7} überhaupt bedeuten soll. Das einzige was ich verstehe, ist Z. Dass es also um ganzen Zahlen geht. In der Vorlesung sind auch Worte zu Restklassen gefallen. Ich kann mein Prof aber nicht folgen. Auch die Erklärung in Wikipedia ist zu kompliziert.
kann mir jemand auf einer simplen Sprache erklären was das alles überhaupt sein soll? Vielleicht ein Beispiel mit Zahlen?
ich habe Aufgabe (a) gelöst, weil ich weiß was Z bedeutet.
3 Antworten
Wenn ich mich richtig erinnere, ist
Z/7Z = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} die Menge der Restklassen modulo 7
Die Restklassen modulo 6, also 0, 1, 2, 3, 4, 5 werden abgebildet auf z^0, z^1 usw.
also {0, 1, 2, 3, 4, 5} mit der Verknüpfung + auf
{1, 3, 2, 6, 4, 5} mit der Verknüpfung *
Wenn du zeigen kannst, dass für alle a,b aus {0, 1, 2, 3, 4, 5} gilt
f(a + b) = f(a) * f(b) dann hast du's.
Kann man schaffen. Die Ausformulierung so, dass man es auch abgeben kann, ist bei mir zu lange her.
Hey danke sehr für die Hilfe:) Also hat dein Sohn auch Mathe-Module. Ich studiere Informatik und habe Lineare Algebra1 mit Analysis1 erstmal.
Hast du in der Vergangenheit auch Physik studiert?
Es dreht sich hier alles um die Division mit Rest, die du aus der Grundschule kennst.
Wenn ich eine Division wie 15 : 7 habe, dann kriege ich als Ergebnis ja so etwas wie:
15 : 7 = 2, Rest 1
heraus. Wir interessieren uns weniger für den Quotienten 2, als vielmehr um diesen Rest 1. Es stellt sich heraus, dass die Reste 0, 1, 2, ..., 5, 6 die einzigen Reste sind, die bei Division durch 7 herauskommen können. Wir können die ganzen Zahlen daher in 7 Teilmengen unterteilen:
- Die Menge aller Zahlen, die bei Division durch 7 den Rest 0 haben,
- Die Menge aller Zahlen, die bei Division durch 7 den Rest 1 haben,
- ...
- Die Menge aller Zahlen, die bei Division durch 7 den Rest 6 haben.
Die erste Menge nennen wir [0], die zweite Menge nennen wir [1] usw.
Diese 7 Mengen [0], [1], ..., [6] packen wir wiederum in eine Menge, die man Z/7Z nennt:
Dies ist die Menge der "Restklassen modulo 7".
Wir erweitern unsere Schreibweise ein wenig: Wir wollen auch sowas wie [7] oder [-11] bestimmen können. Nach unserer ursprünglichen Definition ergibt [7] wenig Sinn, weil 7 kein valider Rest bei Division durch 7 ist. Wir wissen aber, dass 7 ein Element von [0] ist und dass 7 kein Element der anderen Restklassen ist. Insofern setzen wir einfach [7] := [0]. Allgemeiner sagen wir:
[a] = [b], falls a und b bei Division durch 7 denselben Rest haben.
Das hat also solche Dinge wie [7] = [0] = [-21] zur Folge oder auch [17] = [45].
Ok, bis jetzt haben wir nur die Division durch 7 betrachtet, aber dasselbe Spiel kann man natürlich auch mit der Division durch 6 betreiben. Bei dieser gibt es nur 6 Restklassen:
Und spätestens hier kriegen wir ein Notationsproblem. Denn die [0] in Z/6Z ist ja etwas komplett anderes als die [0] in Z/7Z: Die erste steht für die Zahlen, die ohne Rest durch 6 teilbar sind; die zweite für alle Zahlen, die ohne Rest durch 7 teilbar sind. Die haben ja überhaupt nichts miteinander zu tun!
Deswegen geben wir unseren Restklassen einen Index mit, damit wir unterscheiden können, bezüglich welcher Relation genau diese Restklasse gebildet wurde:
Und nun noch ein Wort zu deiner Aufgabe (a):
(Z, •) ist leider keine Gruppe. Du musst die Rechnung bzgl. (Z, +) durchführen.
DAnke für deine Antwort. Ich werde das gleich nochmal versuchen.
Bei der Aufgabe a). Darf man hier keine Multiplikation verwenden? Wenn ich die Rechnung mit (Z, +) durchführe dann habe ich:
f(a+b)= (a+b)^3 <--- Das Distributivgesetz kann ich hier jedoch nicht anwenden.
Du musst ja auch nur entscheiden, ob das ein Gruppenhom ist ;) Wenn du zwei Zahlen a und b findest, sodass f(a + b) ≠ f(a) + f(b) ist, hast du bewiesen, dass es kein Gruppenhom ist.
Sry für die blöde Frage: Wieso hast du mit (Z,+) gerechnet und nicht (Z,*)?. Mein Übungsleiter hat bei der Aufgabe f(z)=2z auch mit (Z,+) gerechnet. Da konnte man zeigen dass es ein Gruppenhom ist. Bei dieser Aufgabe geht es aber nicht. Irgendwie verstehe ich nicht, wann man + und wann man * anwendet?
Damit eine Abbildung f: G -> H überhaupt ein Gruppenhom sein kann, müssen G und H beides Gruppen sein.
Aber (Z, *) ist einfach keine Gruppe, weil z.B. die ganze Zahl 2 kein inverses Element bezüglich der Multiplikation hat (das wäre ja 1/2, aber das liegt nicht in Z).
Ach stimmt. Eine Gruppe müsste auch Eingeschaften erfüllen, damit sie eine Gruppe sein kann. Und eines davon ist die Inverse. Und wenn statt Z ein R stehen würde? Dann dürfte man doch mit (R,*) rechnen, oder?
Auch (R,*) ist keine Gruppe ;) Hier scheitert es am Inversen der 0.
Aber (R \ {0}, *) wäre eine Gruppe, wohingegen (R \ {0}, +) wiederum keine Gruppe wär, weil da kein neutrales Element drin liegt.
Danke sehr:) Ich habe gemerkt, dass ich noch eine Aufgabe falsch gemacht habe
Hab hier noch eine Aufgabe, wo ich den Fehler gemacht habe :
f5 : R\{0} → R\{0}, f5(z) = z^3
Hier habe ich z.B den Fehler gemacht, dass ich links geschrieben habe (R \ {0}, +) sei eine Gruppe, es aber nicht sein kann, weil der Neurtale Element 0 ist, dieser aber hier ausgeschlossen wurde. Es sieht also aus, dass es hier mit Multiplikation gerechnet werden sollte. Ich habe also gerechnet:
(R \ {0}, *) sind Gruppen. Es muss also gelten: f(a*b)=f(a)*f(b). Es stimmt aber nicht, wenn a=1/2, b=3/2 sind. Also ist es kein Gruppenhom.
Habe ich die Aufgabe richtig gelöst? falls falsch, könntest du vielleicht ein Tipp geben wo ich nochmal nachdenken müsste?
Tut mir Leid, dass ich so viele Fragen stelle
Zunächst: Ja, hier ist Multiplikation die richtige Verknüpfung.
Kannst du mir explizit ausrechnen, wieso es bei a=1/2 und b=3/2 schief geht? Also:
- Was ist f(1/2)?
- Was ist f(3/2)?
- Was ist dementsprechend f(1/2) * f(3/2)?
- Was ist f(1/2 * 3/2)?
- 1/8
- 27/8
- 27/64
- 27/64
Oh man bin ich blöd. Habe eben irgendwie andere Ergebnisse gehabt, wahrscheinlich habe ich doch f(a+b) gerechnet.
Es scheint also doch ein Gruppenhom zu sein.
Also ist es wichtig erstmal zu schauen im welchen Bereich wir uns bewegen (R,Z..) und dann entscheiden welche Verknüpfung man wählt? Diese Aufgabe ist etwas anders, weil nur die Multiplikation möglich ist.
Wie @Quotenbanane bereits sagte: Eigentlich sollte bei einer guten Aufgabenstellung die Verknüpfung schon dabei stehen, aber anscheinend sollst du die selbst herausfinden, ja...
Danke dir Vielmals. Ich habe eben 3 Aufgaben korrigiert. Die Aufgabe C werde ich noch machen. Habe echt Glück heute.
Ich gehöre leider nicht zu den Guten und brauche immer etwas Länger zu verstehen. Das Tempo ist auch zu schnell, gleichzeitig müssen aber auch Übungsblätter abgegeben werden. Bin im ersten Semester und Mathe ist echt hart...
Die ersten beiden Semester Mathe sind leider wirklich hart - da muss man neben dem eigentlichen Inhalt nämlich erstmal lernen, wie man überhaupt formal korrekte Beweise führt und wie man "mathematisch denkt"... Aber lass dich trösten: Wenn du Ana und LinA erstmal überstanden hast, wirds besser ;)
Das was Schachpapa bereits gesagt hat. Z/7Z \ {[0]_7} ist dann wohl die Restklasse modulo 7 ohne dem neutralen Element in Z/7Z.
Zuerst würde ich mir mal überlegen, ob überhaupt alle Elemente von Z/6Z abgebildet werden (Spoiler: Ja, werden sie).
Bei solchen Aufgaben müsste normalerweise dabeistehen, um welche Gruppen es sich handelt. Ich hab' jetzt mal für beide Gruppen die Verknüpfung "*" gewählt. Es kann aber sein, dass es sich hier um (Z/6Z, +) und/oder (Z/7Z, +) handelt.
Dann kann man durch ein einfaches Gegenbeispiel zeigen, dass
und somit ist die Abbildung kein Homomorphismus.
Bei solchen Aufgaben müsste normalerweise dabeistehen, um welche Gruppen es sich handelt. Ich hab' jetzt mal für beide Gruppen die Verknüpfung "*" gewählt. Es kann aber sein, dass es sich hier um (Z/6Z, +) und/oder (Z/7Z, +) handelt.
Jo, es wär schön wenn das dabei stünde... Aber in diesem Fall kann man es tatsächlich mutmaßen, da (Z/7Z \ {[0]}, +) und (Z/6Z, *) beides keine Gruppen sind ;)
Dass die Verknüpfung in der Zielmenge nicht + sondern * ist, muss man erraten (neutrales Element 0 -> 1). Dann probiert man ein bisschen herum und formuliert es anschließend wasserdicht.
Ich habe hier sowas:
3^(6m + a + 6 n + b) mod 7
= ((3^6)^(m+n) * 3^a * 3^b) mod 7
= 1 * (3^a mod 7) * (3^b mod 7)
Keine Ahnung, ob mir das an der Uni anerkannt worden wäre.
Mein schachspielender Sohn (daher Schachpapa) schlägt sich jetzt im Physikstudium damit herum. Was studierst du?