Grenzwert mathe?

Ich habe hier eine mathe Aufgabe. Ich bin unsicher,wie ich lösen soll? Muss man den Regel von l'hospital anwenden ? Ist es richtig und wie kann man dann richtig sauber aufschreiben (Schreibweise) ?

Answer 1

[Jangler13]

Du kannst L'Hospital nutzen, musst du aber nicht.

Multipliziere erst den Nenner aus.

Kürze dann den Bruch vollständig um x. (Dann wird zum Beispiel die 6 im Nenner zu 6/x)

Nutze dann die Grenzwertsätze von Summen und Brüchen, und die Eigenschaft, dass e^-x schneller gegen 0 geht als jedes Polynom, um den Grenzwert zu bestimmen.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mache derzeit meinen Mathematik Master

Answer 2

[Kwalliteht]

$\frac{4x+x^3e^{-\sqrt{x}}}{\left(2+\sqrt{2x}\right)\left(\sqrt{2x}+3\right)}$

Erstmal nur der Nenner:

$6+5\sqrt{2x}+2x$

$6+5\sqrt{2}\cdot\sqrt{x}+2x$

Probieren wir es mit x=10000: 6+7,07*100+20000=20713

Jetzt probieren wir ex mit x=100: 6+7,07*10+200=276,7

Der Nenner geht für x gegen unendlich also gegen 2x.

Jetzt der Zähler:

Zuerst klammern wir x aus.

$x\cdot\left(4+x^2e^{-\sqrt{x}}\right)$

Setzen wir für x mal 10000 ein. Die Wurzel davon ist 100. e^(-100)=3,72*10^(-44). Das Quadrat von 10000 ist 100000000. Beides multipliziert sind 3,72*10^(-36).

Versuchen wir es einmal nur mit der 100 für x. Die Wurzel davon ist 10. e^(-10)=0,000045. Das Quadrat von 100 ist 10000. Beides multipliziert ergibt 0,45.

Wir sehen also, das x^2*e^(-Wurzel(x)) bei immer größerem x gegen 0 geht. Der Wert in der Klammer geht daher gegen 4. Der Zähler geht für x gegen unendlich gegen 4x.

Nun haben wir im Zähler und im Nenner keinen Grenzwert, und für x gegen unendlich geht der Bruch gegen 4x/2x, also gegen 2. Jetzt kannst Du zum Spaß noch herausfinden, ob von oben oder von unten.

Comments

[Jadmajd]

Sehr hilfreich. Das habe ich auch überlegt mit ausprobieren aber ich soll mit der Regel von l'hospital oder mit umschreiben machen und das weiß ich leider nicht.