Grenzwert Aufgaben?

Könnte mir jemand die Fragen beantworten?

Answer 1

[mihisu]

1. richtig

Siehe beispielsweise auch:

• https://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_(Folge)#Rechenregeln
• https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_für_Nicht-Freaks:_Grenzwertsätze:_Grenzwert_von_Folgen_berechnen#Die_Produktregel

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2. richtig

$\sum\limits_{i=2}^{\infty}\left(\frac{1}{4}\right)^{n}$ $=-\left(\frac{1}{4}\right)^0-\left(\frac{1}{4}\right)^1+\left(\frac{1}{4}\right)^0+\left(\frac{1}{4}\right)^1+\sum\limits_{i=2}^{\infty}\left(\frac{1}{4}\right)^{n}$ $=-1-\frac{1}{4}+\sum\limits_{i=0}^{\infty}\left(\frac{1}{4}\right)^{n}$ $\overset{\text{geometrische Reihe}}=-1-\frac{1}{4}+\frac{1}{1-\frac{1}{4}}$ $=-1-\frac{1}{4}+\frac{1}{\quad\frac{3}{4}\quad}$ $=-1-\frac{1}{4}+\frac{4}{3}$ $=\frac{-12}{12}+\frac{-3}{12}+\frac{16}{12}$ $=\frac{1}{12}$

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3. falsch

Gegenbeispiel:

$b_{n}=n$

$a_{n}=\frac{1}{n}\quad \text{mit }\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$

$\lim\limits_{n\to\infty}\left(a_n\cdot b_n\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n}\cdot n\right)=\lim\limits_{n\to\infty}1=1\ne 0$

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4. falsch

Gegenbeispiel:

$a_n=\left(-1\right)^{n}\text{ divergiert.}$

$\lim\limits_{n\to\infty}\left\lvert\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right\rvert=\lim\limits_{n\to\infty}\left\lvert\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{\left(-1\right)^{n}}\right\rvert=\lim\limits_{n\to\infty}\left\lvert -1\right\rvert=\lim\limits_{n\to\infty}1=1$

Weiteres Gegenbeispiel:

$a_{n}=n\text{ divergiert gegen }\infty\text{.}$

$\lim\limits_{n\to\infty}\left\lvert\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right\rvert=\lim\limits_{n\to\infty}\left\lvert\frac{n+1}{n}\right\rvert=\lim\limits_{n\to\infty}\left\lvert 1+\frac{1}{n}\right\rvert=\left\lvert 1+0\right\rvert=\lim\limits_{n\to\infty}1=1$

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5. richtig

Beispiel:

$a_{n}=\left(-1\right)^{n}$

Bei dieser Folge haben unendlich viele Folgenglieder den Wert 1. Jedoch ist der Grenzwert der Folge nicht 1, sondern die Folge hat überhaupt keinen Grenzwert.