GRAFISCHES DIFFERENZIEREN Fkt. 3. Grades - 1. & 2. Ableitung. Wie mach ich die 2.?

Benutze Geogebra zum überprüfen..  - (Mathe, zweite Ableitung, Grafisch differenzieren)

4 Antworten

Lieber DrAdvisor,

Wir machen in der Schule gerade grafisches Differenzieren. Also, es geht wie folgt:

  • zunächst Extrema, Wendepunkte und (falls vorhanden) Sattelpunkte Markieren. Du weißt dann nämlich folgendes:
    => Extremstellen - Nullstellen der ersten Ableitung
    => Wendepunkte - Extrema der ersten Ableitung
    => Sattelpunkte - Nullstellen der ersten Ableitung
    Hier hast du bei x = 1 und bei x = 3 Extremstellen und bei x = 2 einen Wendepunkt.
  • Weiterhin kann man an der ersten Ableitung sehen, wann die Funktion steigt und wann sie fällt. Rechnerisch ist die erste Ableitung f'(x) = 3x² -12x +9, aber das sollst du eben grafisch bestimmen. Nimm dir noch ein paar gut lesbare Punkte, lege eine Tangente durch den Punkt und bestimme in etwa ihre Steigung und trage das in das zweite KS ein wo auch schon die anderen Punkte markiert sind.
  • nun kannst du schon in etwa deine Funktion zeichnen. Um nun die zweite Ableitung zu bestimmen, musst du die Steigungen der ersten Ableitungen mit einbeziehen. Es gilt außerdem:
    => Extrempunkt der ersten Ableitung - Nullstelle der zweiten Ableitung
    => Linkskrümmung bei f - Positiv bei f''
    => Rechtskrümmung bei f - Negativ bei f''
    Hier hast du bei x = 2 den Extrempunkt der ersten Ableitung, also wird bei der zweiten Ableitung - eine Gerade mit der Funktionsgleichung f''(x) = 6x-12 - dort die Nullstelle sein.

Allgemein kannst du immer folgendes sagen (das könnt dir beim graphischen Differenzieren etwas nützen!):

  • f'(x) < 0 => Funktion f(x) fällt
  • f'(x) = 0 => Extremstelle in f(x)
  • f'(x) > 0 => Funktion f(x) steigt
  • f''(x) < 0 => Funktion f(x) hat eine Rechtskrümmung
  • f''(x) = 0 => Funktion f(x) hat einen Sattelpunkt
  • f''(x) > 0 => Funktion f(x) hat eine Linkskrümmung
  • f''(xe) < 0 => Funktion f(x) hat an xe einen Hochpunkt
  • f''(xe) = 0 => Funktion f(x) hat an xe einen Sattelpunkt
  • f''(xe) > 0 => Funktion f(x) hat an xe einen Tiefpunkt
  • etc. - der Rest fällt mit ad hoc nicht ein.

Ich hoffe ich konnte helfen - im Anhang noch ein Bild zu deiner Funktion f (blau), der ersten Ableitung f' (rot) und der zweiten Ableitung f'' (grün). Bei Fragen melde dich.

LG ShD

Die Funktion f und ihre Ableitungen - (Mathe, zweite Ableitung, Grafisch differenzieren)

Hallo,

wie mostmichl schon schrieb, ist die zweite Ableitung eine Gerade, die bei x=2 eine Nullstelle besitzt (dort hat die erste Ableitung ein Minimum). Einen Punkt, um die Gerade zu bestimmen, hast Du also schon. Den zweiten könntest Du zeichnerisch dadurch erhalten, daß Du an irgendeiner Stelle des Graphen der zweiten Ableitung eine Tangente anlegst, deren Steigung Du durch ein geeignetes Steigungsdreieck durch einfaches Kästchenzählen und Dividieren ablesen kannst. Dieser Wert wäre der Funktionswert zu der Stelle, an der Du die Tangente angelegt hast. Den Punkt einzeichnen, mit dem Nullpunkt der zweiten Ableitung verbinden und fertig.

Herzliche Grüße, Willy

Du weißt, dass die Grundfunktion eine Funktion dritten Grades ist, dadurch ist die Ableitung eine Parabel und deren Ableitung eine Gerade. Die erste Ableitung hast du grafisch schon bestimmt. Die Parabel fällt bis zum Punkt x=2 und steigt danach. D. h. dass die zweite Ableitung, also die Gerade, die x-Achse bei x=2 schneiden muss. Vorher muss sie unter der x-Achse verlaufen, nachher über der x-Achse.

Danke, und woher weis ich die Steigung der Geraden? Rechnerisch weis ich wie ich drauf komme, grafisch.. Kp

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Wie geht diese Steckbriefaufgabe? ^

hallo,

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