Gleichung lösen?
Die Gleichung ist : - 20*(a+2)e^-0,5a+40=35
Die Lösung laut Taschenrechner ist ca. 7,21
Wie hätte ich es, aber schriftlich berechnet, diese Gleichung? Vielen Dank :)
2 Antworten
Hallo,
der Taschenrechner hat eine Lösung unterschlagen.
Die beide Lösungen für a lauten -1,90348298 und 7,2140469.
Da a einmal zum Faktor gehört und einmal im Exponenten steckt, läßt sich diese Gleichung aber nicht auf triviale Art lösen.
Du mußt sie auf die Form y=x*e^x bringen, um dann y in die Lambertsche W-Funktion einzugeben (für die gibt's Programme im Netz), damit diese den dazugehörigen Wert oder die dazugehörigen Werte für x ausspuckt.
Vorher muß ein wenig umgeformt werden:
-20*(a+2)*e^(-0,5a)+40=35.
35 nach links, mit der 40 zu 5 verrechnen, den Rest nach rechts und anschließend die Seiten vertauschen, damit a links steht, was unserer Lesegewohnheit entspricht, ansonsten aber eigentlich unnötig ist:
20*(a+2)*e^(-0,5a)=5 |:20
(a+2)*e^(-0,5a)=1/4
Nun müssen der Faktor vor dem e und der Exponent von e gleich werden, damit man die W-Funktion anwenden kann.
Dazu multiplizierst Du zunächst beide Seiten mit -0,5:
-0,5*(a+2)*e^(-0,5a)=-1/8
(-0,5a-1)*e^(-0,5a)=-1/8.
Nun noch mit e^(-1) multiplizieren, damit sich der Exponent an den Faktor anpaßt:
(-0,5a-1)*e^(-0,5a-1)=-1/(8e)=-0,04598493015.
Nun noch (-0,5a-1) durch x substituieren:
x*e^x=-0,04598493015.
Diesen Wert in die W-Funktion eingeben (etwa bei Wolfram alpha oder so):
x=W(-0,04598493015)=-0,04825851 bzw. -4,60702345 (die W-Funktion hat noch einen Nebenzweig). Allerdings muß man hinterher unbedingt die Probe machen, weil nicht immer beide Werte zur Gleichungslösung führen, sondern auch mal eine Scheinlösung dabei sein kann.
Nun noch resubstituieren:
-0,5a-1=-0,04825851 führt zu a=-1,90348298 und
-0,5a-1=-4,60702345 führt zu a=7,2140469.
Lösungen zur Probe in die Ursprungsgleichung eingeben.
Beide Lösungen für a sind gültig.
Ein Taschenrechner, auf dem sich mehrere Werte abspeichern lassen, ist hierfür sehr günstig. Ich benutze immer den Casio fx-991DE X, der alles, was man braucht, zu einem günstigen Preis bietet.
Herzliche Grüße,
Willy
Wow krass. Okay, naja eigentlich war es so gesehen keine richtige gleichung. Ich sollte die Integralgrenze suchen, deshalb die Gleichung. Cool, Dankeschön :)
Da wüsste ich auch keine analytische Lösung, sondern nur eine graphische oder ein Näherungsverfahren.
Graphisch mit einem Funktionsplotter kriege ich raus, wenn ich umstelle:
- 20*(a+2)e^-0,5a+40=35
f(x) = - 20*(a+2)e^-0,5a+5
und dann die Nullstellen suche
Die linke Nullstelle in Feinauflösung:
damit x1 = -1,9035
rechte Nullstelle:
und damit x2 = 7,2141
