Gilt diese Abschätzung für alle x,y Element R?
1/(x^2+y^2) <= 1/x^2?
Und wie sieht es ohne Quadrat aus
3 Antworten
Die Abschätzung ist für x∈ℝ\{0} korrekt. Sie folgt durch Invertieren aus:
Die zweite Abschätzung ist falsch, z.B. für x= -1, y= 2.
Zumindest x sollte nicht Null sein. Bilde mal den Kehrwert auf beiden Seiten.
Zur zweiten Abschätzung:
Nehmen wir an, dass
1. x und y positiv sind:
Dann gilt die Ungleichung immer, da der Nenner von 1/(x+y) größer als 1/x ist, und der Bruch somit kleiner ist.
2. x ist positiv, y ist negativ:
Gilt das, muss außerdem gelten, dass x<|y| ist, oder einfacher gesagt, der Nenner muss negativ werden.
3. ist x negativ und y positiv gilt:
Es muss hier gelten, dass 0<y<|x| ist. Denn nur so bleibt der Bruch negativ, wobei der Nennerbetrag abnimmt.
4. x und y sind negativ
Hier gilt es nie, da der Nennerbetrag von 1/(x+y) immer größer ist, als der von 1/x (beispielsweise 1/(-2-2)≤1/-2 ) wodurch der Bruch 1/(x+y) immer näher an null liegt und deshalb großer ist.
Leider ist hier wohl ein Tippfehler geschehen:
In der in der Antwort angschriebenen Ungleichung muß es natürlich heißen: "größer gleich". Wenn man dann auf beien Seiten die Kehrwerte bilden, wird aus "größer gleich" natürlich "kleiner gleich".