Gibt es negative Fakultäten?

Wie zum Beispiel -4!

Wenn ja wie rechnet man das

Ist das dann einfach:

-4! = -(4*3*2*1) = -24

Answer 1

[mihisu]

Nein, negative Fakultäten sind nicht definiert.

Die üblichste Verallgemeinerung der Fakultät geschieht mit Hilfe der Gammafunktion Γ. Denn für alle natürlichen Zahlen n ∈ ℕ₀ gilt:

$n!=\Gamma(n+1)$

Bzw. gilt umgekehrt für alle n ∈ ℕ:

$\Gamma(n)=(n-1)!$

Die Gammafunktion ist nun für einen sehr viel größeren Zahlenbereich definiert, auch für viele negative Zahlen. So ist dann beispielsweise...

$\left(-\frac{3}{2}\right)!=\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)=-2\cdot\sqrt{\pi}\approx -3\text{,}54$ $\left(-\frac{1}{2}\right)!=\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\approx 1\text{,}77$ $\left(\frac{3}{2}\right)!=\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{3}{4}\cdot\sqrt{\pi}\approx 1\text{,}33$ $\left(\frac{3}{2}\right)!=\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)=\frac{3}{4}\cdot\sqrt{\pi}\approx 1\text{,}33$

[Ok, insofern würde ich dann mit der Antwort falsch liegen, wenn man es so sieht, da (-3/2)! beispielsweise eine negative Fakultät ist.]

Aber gerade für die negativen ganzen Zahlen ist die Gammafunktion nicht definiert. Dort lässt sich die Gammafunktion nicht stetig fortsetzen. Der Definitionsbereich der Gammafunktion ist nur ℂ∖{0, -1, -2, -3, -4, ...}, weshalb auch die entsprechende Verallgemeinerung der Fakultät für negative ganze Zahlen nicht definiert ist.

Dementsprechend ist auch bei dieser üblichen Verallgemeinerung beispielsweise (-4)! bzw. Γ(-3) nicht definiert.

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Bei -4! solltest du hingegen bedenken, dass man das üblicherweise als -(4!) interpretieren wird, statt als (-4)!. Da besteht ein Unterschied zwischen -4! = -(4)! und (-4)!.

4! kann man ohne Probleme berechnen. Es ist 4! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24. Und dementsprechend ist dann -4! = -24. Die von dir angegebene Rechnung...

$-4!=-(4\cdot 3\cdot 2\cdot 1)=-24$

... ist korrekt.

(-4)! ist hingegen nicht definiert.

Answer 2

[MichaelH77]

solange die -4 nicht eingeklammert ist, stimmt das so. Dann ist es quasi wie ein Vorzeichen der Fakultät. Es ist fraglich in welchem Zusammenhang man eine negative Fakultät benötigt

die Fakultät von einer negativen Zahl ist nicht definiert

Answer 3

[wollknaeuel188]

Der Begriff der Fakultät lässt sich für beliebige Zahlen verallgemeinern: https://de.wikipedia.org/wiki/Gammafunktion

Für negative ganze Zahlen ist die Funktion aber leider nicht definiert, da hat die Gammafunktion ihre Polstellen, aber sowas wie (-3,5)! existiert schon