Gibt es hierfür eine einfache Lösung?
Auf das erste Feld eines 64 Felder großen Schachbrettes wird ein Reiskorn gelegt. Auf die weiterfolgenden Felder jeweils die doppelte Anzahl an Reiskörnern des vorherigen Feldes.
Wie viele Reiskörner liegen auf dem 64 Feld
Wie viele Reiskörner liegen auf dem ganzen Brett zusammengerechnet.
Für den ersten Teil dachte ich mir das ich 1(2^63) rechne (oder wäre 1(2^64) korrekt?) , aber für die zweite Teilaufgabe fällt mir nur ein, jedes Feld einzeln auszurechnen und dann zu addieren. Gibt es dafür eine einfachere Methode?
7 Antworten
Auf dem 1. Feld liegt 2^0 = 1 Reiskorn.
Auf dem 2. Feld liegen 2^1 = 2 Reiskörner.
Auf dem 3. Feld liegen 2^2 = 4 Reiskörner.
Auf dem 4. Feld liegen 2^3 = 8 Reiskörner.
Erkennst Du die Regel jetzt?
Auf dem n-ten Feld liegen 2^(n-1) Reiskörner.
Also liegen auf dem 64. Feld ...???
Für den zweiten Teil gibt es zwei Möglichkeiten: Du kannst entweder herleiten, daß sum(j=1,n) 2^j = 2 * (2^n-1) ist (Beweis s. http://www.youtube.com/watch?v=uwFigj7gmtk). Dann fehlt nur noch etwas Zahlenjongliererei, indem Du zu o.g. Beweis noch den den Fall j=0, also 2^0=1 addierst und das Ergebnis ausrechnest.
Wesentlich eleganter geht es, wenn Du im Binärsystem rechnest: Binär ist 2^0 = 1, 2^1 = 10, 2^2 = 100 usw. 2^n ist binär dann eine 1 gefolgt von n Nullstellen.
Addiert man nun die Werte, erhält man die Folge:
1
10
100
1000
-----
1111
Addiert man zu diesem Wert noch eine 1 erhält man die nächsthöhere 2er Potenz, in diesem Fall
1111
1
-----
10000
Somit läßt sich sehr elegant zeigen, daß sum(j=0;n) 2^j = 2^(n+1) -1 ist.
In deinem Fall also sum(j=0;63) 2^j = 2^64 -1 = 18.446.744.073.709.551.615 Reiskörner.
Das Problem solltest Du mit Excel lösen können.
Mit Excel komme ich auf folgende Formel für Aufgabe 1:
y = 0,5e^(0,693147180559945x)
y = Anzahl Reiskörner, x = Feldnummer
Diese Formel hat einen Fehler von ca. 2 * 10^-12 %.
- 2^63 und
- (2^64)-1
Probiere einfach mal aus mit vier Feldern:
1 - 2 - 4 - 8
Lösung: 2^3 und 15 = (2^4)-1
Der ertse Teil sollte reichen
