Geht a³ + b³ = c³?

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8 Antworten

Hallo,

wieso sollte das nicht gehen?

Du kannst doch für a und b beliebige Zahlen einsetzen und aus dem Ergebnis die dritte Wurzel ziehen, um c zu erhalten.

Es gibt allerdings keine ganzzahligen Lösungen für a^n+b^n=c^n, wenn n größer als 2 ist und a, b und c ungleich Null, wie Pierre de Fermat im 17. Jahrhundert vermutete und der britische Mathematiker Andrew Wiles 1995 bewies.

Wenn Dich das Thema interessiert, solltest Du das Buch 'Fermats letzter Satz; von Simon Singh lesen. Da findest Du alles über die Fermatsche Vermutung und die lange Geschichte der Suche nach einem Beweis dafür.

Herzliche Grüße,

Willy

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Geht a³+b³=c³?

Natürlich geht das. Ich vermute, Du willst eigentlich wissen, ob es mit

a, b, c ∈ ℕ⁺

geht. ℕ⁺ ist die Menge der, wie ich sie nennen würde, Echten Natürlichen Zahlen 1,2,…, im Unterschied zur Menge ℕ⁰ der Natürlichen Zahlen.

Hier lautet die Antwort „Nein“, und das wurde bereits im 18. Jahrhundert von Leonhard EULER mit Hilfe der sogenannten imaginären Zahlen (das sind Zahlen, deren Quadrat negativ ist) bewiesen. Veröffentlicht hat er diesen Beweis 1770. Etwa 130 Jahre früher, um 1640, vermutete Pièrre de FERMAT, dass es

a, b, c ∈ ℕ⁺
mit
aⁿ + bⁿ = cⁿ, n ∈ ℕ⁺

nur für n≤2 gibt.

Die Aussage wird gern als FERMATs Großer Satz bezeichnet und hieß früher natürlich „FERMAT'sche Vermutung“. Korrekter wird dies im TEUBNER gehandhabt, wo die Aussage inhaltlich weiterhin F. Vermutung heißt. Die Aussage, dass die FERMAT'sche Vermutung richtig ist, heißt dort Satz von WILES, nach Andrew Wiles, der sie 1994 beweisen konnte.

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Ich vermute, dass du im Zeichen des Pythagoras mal einen Versuchsballon abgeschossen hast.

a² + b² = c²
"geht" ja auch nicht immer, sondern nur in einem rechtwinkligen Dreieck.
Bei Zahlen sind nur bestimmte möglich, die eben Seiten dieses besonderen Dreiecks sein können, z.B. 3, 4 und 5 oder 6, 8 und 10.

Das ist zu unterscheiden von Regeln, die für alle Zahlen gemacht sind.

Die Beziehung a³ + b³ = c³ wäre auch nur für ganz bestimmte Zahlen möglich, z.B. 0, 0 und 0  oder 0, 0 und 1.

Grundsätzlich gilt dafür die Voraussetzung: c = ³√(a³ + b³)

Passieren wird da gar nichts. Es werden nur bestimmte Kuben addiert.

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Natürlich geht das!

Für ALLE beliebigen rellen Zahlen a und b gibt's eine reelle Zahl c, so dass a³+b³=c³
Für alle reellen a und b kannst du a³ und b³ ausrechnen, dann die Summe a³+b³ bilden und die 3. Wurzel aus dieser Summe ist dann c.

Wie kommst du darauf, dass das NICHT möglich sein könnte?

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Kommentar von Tannibi
08.02.2017, 13:14

Für ALLE beliebigen rellen Zahlen a und b gibt's eine reelle Zahl c, so dass a³+b³=c³

Das sollte einen auf den Gedanken bringen,
dass das - trivialitätsbedingt - nicht gemeint ist.

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Aus welcher Menge stammen a,b und c? Über den reellen Zahlen kann ich sicher so eine Gleichung basteln; etwa für a = 1, b = 2 und c = 5^(1/3).

Über den ganzen Zahlen gibt es immer noch die Lösung 0^3 + 0^3 = 0^3.

Über positiven ganzen Zahlen werden wir da weniger Glück haben; da ist die Gleichung immer falsch.

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Kommentar von BohemianLife
08.02.2017, 09:22

wenn dann c = 9^(1/3)

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Nein, das geht nicht.

Für a^n + b^n = c^n gibt es für n > 2
keine Lösung, wenn a, b, c und n natürliche Zahlen sind.

--> Großer Fermatscher Satz

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Kommentar von BohemianLife
08.02.2017, 09:20

0 gehört durchaus zu den natürlichen Zahlen. Und das wäre natürlich eine Lösung für diese Gleichung.

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Kommentar von Rubezahl2000
08.02.2017, 13:07

@Tannibi: Wie kommst du darauf, dass es nur um natürliche Zahlen geht?

0

Klar. 0³ + 0³ = 0³ oder 1³ + 1³ = 1³ zum Beispiel

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Kommentar von BohemianLife
08.02.2017, 09:33


Klar. 0³ + 0³ = 0³ oder 1³ + 1³ = 1³ zum Beispiel


ähm 1+1 = 2 - Experte für Mathematik ;)

2

das system ist eher bekannt  als pythagoras satz mit  a² +b² = c²

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Kommentar von SlowPhil
08.02.2017, 10:22

Der FS meinte allerdings wirklich … ³.

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