Gaußsche Eliminationsverfahren bitte erklären?
Hallo, leider war ich krank bei der Einführung. So wie ich es verstanden habe, bleibt die erste Zeile immer gleich. Wenn ich nun also beginne die 2. Zeile mit -3 zu multiplizieren und mit der 3. Zeile zu addieren, wieso ergibt dann x2 * (-3) + -5x = -4x2? Meiner Logik nach ergibt das -8? Bitte helft mir, ich verstehe gerade nichts mehr
2 Antworten
Im ersten Schritt wird x_1 in den Gleichungen II und III eliminiert und im zweiten Schritt x_2 in der III Gleichung. Ich hätte das wie folgt gemacht:
(I) 3 * x_1 - x_2 + 2 * x_3 = 7
(II) 1 * x_1 + 1 * x_2 + 3 * x_3 = 14 │3 * II - I
(III) 3 * x_1 - 5 * x_2 - 4 * x_3 = -21 │III - I
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(I) 3 * x_1 - x_2 + 2 * x_3 = 7
(II) 0 * x_1 + 4 * x_2 + 7 * x_3 = 35
(III) 0 * x_1 - 4 * x_2 - 6 * x_3 = -28 │III + II
--------------------------------
(I) 3 * x_1 - x_2 + 2 * x_3 = 7
(II) 0 * x_1 + 4 * x_2 + 7 * x_3 = 35
(III) 0 * x_1 + 0 * x_2 + x_3 = 7
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x_3 = 7
...
Hallo.
Wie oben eingezeichnet versuchst du eine Art Treppe zu erstellen, so dass hinterher nur noch 1 Unbekannte übrig bleibt. Das funktioniert, weil die Gleichungssysteme linear sind.
So hat man die zweite Gleichung mit -3 multipliziert und dann mit der ersten Gleichung addiert:
x1 + x2 + 3x3 = 14 | * (-3)
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-3x1 - 3x2 - 9x3 = -42 | + 1.
+3x1 - x2 + 2x3 = 7
------------------------------
0x1 - 4x2 - 7x3 = -35
Bei der dritten hat man mit -1 multipliziert und dann mit der ersten addiert.
3x1 - 5x2 - 4x3 = -21 | * (-1)
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-3x1 + 5x2 + 4x3 = 21 | + 1.
+3x1 - x2 + 2x3 = 7
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0x1 + 4x2 + 6x3 = 28
Dadurch hast du nun bei beiden schon mal das x1 eliminiert, weil null mal irgendwas ist 0. Nun könntest du die 3. Gleichung noch mit der zweiten addieren, dann hebst du auch noch x2 auf.
0x1 + 4x2 + 6x3 = 28
+ 0x1 - 4x2 - 7x3 = -35
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0x1 + 0x2 - 1x3 = -7
Und schon kannst du x3 mit 7 bestimmen. Nun setzt du das x3 in die zweite Gleichung ein und kannst damit x2 auflösen. Zum Schluss ersetzt du in der ersten Gleichung x2 und x3 mit den berechneten Ergebnissen und kannst damit x1 auflösen.