Lineares Gleichungssystem?

Hallo

Ich habe heute eine Klausur geschrieben, wo ich sagen sollte für welche reellen Zahlen für a das LGS unendlich viele Lösungen hat:

2x-y-az=0

x-2y-z=0

2x-y-a²z=0

Ich denke für a=1 oder?

Also Begründung habe ich geschrieben, dass dann die 1 Zeile gleich der zweiten Zeile ist. Habe ich damit den Ball zu flach gehalten oder reicht diese Antwort?

Answer 1

[mihisu]

Für a = 1 hat das Gleichungssysem unendlich viele Lösungen. Ja.

ABER: Auch für a = 0 hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. Dementsprechend hast du die Aufgabe nicht vollständig gelöst.

Des Weiteren passt deine Begründung nicht ganz. Denn... Betrachte beispielsweise das folgende Gleichungssystem...

$x+y-z=0$

$x+y-z=0$

$x+y-z=1$

Bei diesem Gleichungssystem sind die ersten beiden Zeilen gleich. Trotzdem hat das Gleichungssystem nicht unendlich viele Lösungen. Denn die ersten beiden Zeilen stehen im Widerspruch zur dritten Zeile. Dementsprechend hat das Gleichungssystem nicht unendlich viele Lösungen, sondern das Gleichungssystem hat keine Lösung. Mit der von dir genannten Begründung ist noch nicht ausgeschlossen, dass so ein Fall auch bei der vorliegenden Aufgabe auftreten könnte. Es könnte auch sein, dass das Gleichungssystem für a = 1 keine Lösung hat. Dementsprechend würde ich sagen: Deine Begründung geht in die richtige Richtung, ist aber nicht ausreichend.

[Man könnte beispielsweise bei der Begründung hinzufügen, dass es sich um ein homogenes Gleichungssystem handelt. (Auf der rechten Seite stehen nur 0er.) Und dementsprechend ist in jedem Fall die triviale Lösung (x, y, z) = (0, 0, 0) eine Lösung der Gleichung, so dass der Fall „keine Lösung“ nicht auftreten kann, es also bei dem unterbestimmten Gleichungssystem (wenn zwei Zeilen gleich sind) sicher unendlich viele Lösungen gibt.]

====== Lösungsvorschlag zum Vergleich ======

Ich würde das Gleichungssystem zunächst in Form einer erweiterten Koeffizientenmatrix umschreiben, damit es etwas übersichtlicher wird.

$\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & -a & 0 \\ 1 & -2 & -1 & 0 \\ 2 & -1 & -a^2 & 0\end{array}\right)$

Dann würde ich mit elementaren Zeilenumformungen das Gleichungssystem soweit umformen, bis Zeilenstufenform erreicht ist.

$\xrightarrow{\text{I}\leftrightarrow\text{II}}\quad\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & -1 & 0 \\ 2 & -1 & -a & 0 \\ 2 & -1 & -a^2 & 0\end{array}\right)$

$\xrightarrow{\text{III}-\text{II}}\quad\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & -1 & 0 \\ 2 & -1 & -a & 0 \\ 0& 0& a-a^2 & 0\end{array}\right)$

$\xrightarrow{\text{II}-2\cdot \text{I}}\quad\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & -1 & 0 \\ 0 & 3 & 2-a & 0 \\ 0& 0& a-a^2 & 0\end{array}\right)$

Man erhält keine Zeile, bei der links (in der Kooeffizientenmatrix) eine Nullzeile ist, aber rechts eine Zahl ungleich 0 steht. Das Gleichungssystem ist also in jedem Fall lösbar.

Man erhält genau dann eine Nullzeile, sodass das Gleichungssystem unterbestimmt ist und damit das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat, wenn a - a² = 0 ist.

$a-a^2=0$

$\Leftrightarrow\quad a\cdot \left(1-a\right)=0$

$\Leftrightarrow\quad a=0\ \text{ oder }\ 1-a=0$

$\Leftrightarrow\quad a=0\ \text{ oder }\ a=1$

Ergebnis: Das Gleichungssystem hat genau dann unendlich viele Lösungen, wenn a = 0 oder a = 1 ist.

Comments

[XKAFFEESATZ]

Gibt es dafür auch einen einfacheren Lösungsweg mit einer einfacheren Begründung? Ich denke da an sowas wie: "Wenn zwei der Gleichungen die gleiche Aussage haben, kann eine Variable nur nach sich selbst aufgelöst werden, womit das LGS unendlich viele Lösungen besitzt. Da die beiden Gleichungen mit a sich lediglich um den Faktor a unterscheiden, müssen diese gleichgesetzt und nach a aufgelöst werden.". Wenn man das dann noch nach 0 umstellt, ergibt sich wieder das gehabte Nullprodukt.

[mihisu]

@XKAFFEESATZ

kann eine Variable nur nach sich selbst aufgelöst werden

Ich weiß nicht was du damit meinst. Was bedeutet es, wenn eine Variable „nach sich selbst aufgelöst“ wird? Sagen wir einmal, du hast eine Variable X. Was bedeutet nun „X kann nur nach sich selbst aufgelöst werden“? Wie würdest du das definieren?

============

Im Grunde geht das evtl. auch wieder in eine ähnliche Richtung, wie die Begründung des Fragenstellers. Aber du hast dann auch wieder das Problem: Wo hast du bei deiner Begründung ausgeschlossen, dass es nicht evtl. einen Widerspruch mit der noch nicht betrachteten Gleichung gibt, wenn du dich bei deiner Begründung nur auf zwei der drei Gleichungen beziehst?

[XKAFFEESATZ]

@mihisu

Was bedeutet nun „X kann nur nach sich selbst aufgelöst werden“? Wie würdest du das definieren?

Damit ist gemeint, dass das Gleichungssystem unterbestimmt ist, weil die Aussage zweier der Gleichungen identisch ist.