Ganzrationale Funktion Graphen?

1 Antwort

Rhenane
Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer
Mathematik, ganzrationale Funktionen
19.02.2022, 01:56

a) da Du die Nullstellen nicht gut ablesen kannst, verschiebe doch einfach in Gedanken den Graphen um 2 Einheiten nach oben, dann hast Du doppelte Nullstellen bei ±2. Das wäre dann erst einmal f(x)=a(x-2)²(x+2)²=a(x²-4)². Der verschobene Graph müsste zudem den Punkt (0|2) haben, d. h. a muss 1/8 sein. Abschließend schiebst Du den Graphen wieder 2 Einheiten nach unten, ergibt: f(x)=1/8(x²-4)²-2

Der "klassische" Weg über ein LGS wäre: die Funktion muss mindestens 4. Grades sein, sie ist gerade geht durch den Nullpunkt und hat eine Extremstelle bei (2|-2). D. h. die Funktion muss die Form f(x)=ax⁴+bx² haben. Die beiden nötigen Gleichungen wären dann: (I) f(2)=2 und (II) f'(2)=0

b) hier liest Du die Punkte falsch ab: 1 Kästchen gleich 2 Einheiten, d. h. Du hast einen Hochpunkt bei (3|6) und Tiefpunkt bei (9|0), zudem den Nullpunkt. Dies ist eine Funktion 3. Grades, d. h. Du brauchst 4 Gleichungen. Mit dem Nullpunkt hast Du automatisch d=0, also sind nur noch 3 weitere Gleichungen nötig, z. B. beide Extrempunkte und von einem der beiden die Steigung Null.

c) im Ursprung hast Du eine dreifache Nullstelle (Sattelpunkt). Dazu den Hochpunkt bei (3|4) und die Nullstelle (4|0). Da Du alle Nullstellen hast, würde ich die Nullstellenform nutzen und mithilfe des Hochpunkts den Streckungsfaktor ermitteln. Also: f(x)=ax³(x-4)