Funktionsterm bestimmten?
Ich schreibe morgen eine Mathe Klausur und bin gerade am verzweifeln. Ich kann alles außer diese blöden Steckbriefaufgaben:
z.B. Bestimmten Sie den Funktionsterm dritten gerades deren Grad die x-Achse bei 1 schneidet, im Punkt (-2/3) ein Extremum und bei x= 0 einen Wendepunkt hat.
Ich habe jetzt schonmal f(-2) = 3 f(1) = 0
Wie kann ich mir jetzt die letzten beiden Gleichungen fürs LGS herleiten? Bitte um SCHNELLE Hilfe!
Danke im Voraus
6 Antworten
y = ax³ + bx² + cx + d nach Voraussetzung
>die x-Achse bei 1 schneidet => 0 = a * (1)^3 + b * (1)^2 ... + d
(I) 0 = a + b + c + d
>im Punkt (-2/3) ein Extremum
(II) 3 = -8a + 4b -2c + d
y´ = 3ax² + 2bx + c und (III) 0 = 12a -4b + c
>bei x= 0 einen Wendepunkt hat
y´´ = 6ax + 2b und (IV) 0 = 2b => b=0
in (I) einsetzen und nach d auflösen d = -a-c
in (II) einsetzen 3 = -8a -2c -a-c = -9a -3c => 1 = -3a -c
mit (III) 0 = 12a +c nach c auflösen => c = -12a
1 = -3a + 12a = 9a
a = 1/9
c = -12/9 = -4/3
d = -1/9 + 12/9 = 11/9
Das mit dem Extremum heißt nicht nur dass f(-2)=3 sondern auch dass
f'(-2)=0 ist (ist die hinreichende Bedingung von einem Extremum)
Der Wendepunkt bei x=0 heißt dass dort f''(x)=0 gilt (ist die bedingung für Wendepunkt).
Von daher musste noch die ersten 2 Ableitungen für die allgemeine Form rausfinden und dann Alles einsetzen.
Gibt dir 4 Gleichungen mit 4 unbekannten.
Musste dann lösen.
Ist übrigens nur ein Gleichungssystem kein LGS da Potenzen größer 1 vorkommen und damit nicht "linear". :-)
Denk also immer dran:
Ist ein Extremum oder so gegeben, kriegste damit nicht nur infos über den Punkt dort dondern auch Infos über die 1. oder 2. Ableitung an dem Punkt.
Übersoeht man schnell :-D
Funktion dritten Grades: f(x)=ax³+bx²+cx+d
f'(x)=3ax²+2bx+c
f"(x)=6ax+2b
Graph schneidet die x-Achse in x=1 (f(1)=0): a+b+c+d=0
Extremum in (-2/3)(f(-2)=3 und f'(-2)=0):
-8a+4b-2c+d=3
12a-4b+c=0
Wendepunkt in x=0 (f"(0)=0): 2b=0
Aus diesen 4 Gleichungen kann man jetzt a,b,c und d bestimmen und damit die Funktionsgleichung.
Einfach die allgemeine Darstellung einer Funktion dritten Grades aufstellen, zweimal ableiten und die Gleichungen aus der obigen Angabe aufstellen.
Du brauchst noch die ableitungen, also die Steigung an den jeweiligen Punkten