Funktion 4 Grades Punkte bestimmen und in eine Matrix setzen
Hallo :)
Ich habe folgende Aufgabe vorliegen: Der Graph einer Funktion 4. Grades hat bei P(-4/6) einen Tiefpunkt und bei Q (4/2) einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Bestimmen Sie den Term der Funktion.
Die Aufgabe besteht nun darin aus dieser Funktion 4. Grades f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e die folglich gebrauchten anderen drei Punkte zu erhalten und diese in eine Matrix zu setzen.
Da ich mir bei meiner Rechnung unsicher bin frage ich hier um Rat. Ich habe die beiden oben genannten Punkte in die Gleichung gesetzt aber weis nicht wie ich die anderen Punkte herausbekomme?
Ich hoffe ihr könnt mir helfen :D
2 Antworten
Aus den angaben die gemacht werden kannst du einige Eigenschaften der Funktion ablesen:
1) Der Graph besitzt den Punkt (-4/6)
2) Der Graph besitzt den Punkt (4/2) [die 2 hattest du bestimmt auch schon]
3) Die Ableitung der Funktion ist für x=-4 Null f'(-4)=0, da dort ein Extremwert ist
4) Fur x=4 ist die die zweite Ableitung 0 also f''(4)=0 weil dort eine wendestelle ist
5) f'(4)=0, das dort eine waagrechte Tangente ist
Jetzt hast du schon die allgemeine Funktionsgleichung einer Funktion 4.Grades aufgestellt
Diese allg. Funktion musst du jetzt zwei mal ableiten. Setz nun die gegebenen Punkte/Eigenschaften (die 5 stück von oben) in die jeweils richtihe allg. Funktion ein. also jeweils den x-Wert und halt "=das jeweilige Ergebnis"
Jetzt hast du ein gleichungssystem mit 5 variablen und mit 5 gleichungen. nun kannst du es auflösen mit Hilfe einer Matrix und erhälst deine Funktion.
Wenn du noch fragen hast, meld dich!
Ich weiß nicht, obs schon zu spät ist. Deine Lösung stimmt nicht ganz, vllt. kann ich dir ja noch helfen.
du musst natürlich die passenden Punkte in die richtigen Ableitungen einsetzen. Also beim Extremwer weißt du ja dass die 1. Ableitung "0" ist. also setzt du dafür einn: 4a4³+3b4²+2c4+d=0 bei der Wendestelle weißt du, dass die 2. Ableitung "0" ist, also : 12a4²+6b*4+2c=0
und bei der Tangent ist ebenfalls die 1. Ableitung "0". Die gegebenen Punkte P(-4/6) und Q(4/2) setzt du in die allgemeine Formel ein, wie du es gemacht hast. und damit hast du dein Gleichungssystem
Vielleicht als kleines Bonbon noch die Ableitungen. Könnte ja sein, dass du nicht ganz durchblickst:
f '(x) = 4ax³ + 3bx² + 2cx + d
f ''(x) = 12ax² + 6bx + 2c
Erst mal Danke für die schnelle Antwort :)
Jedoch wollte ich meinen Lösungsweg mal posten, um zu sehen ob ich es 100%ig verstanden habe :P
Also:
man hat die Funktion 4ten Grades => f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e
1ste Ableitung => f´(x)= 4ax^3+3bx^2+2cx+d
2te Ableitung => f´´(x)= 12ax^2+6bx+2c
macht man noch etwas besonderes mit diesen Ableitungen?
weil du geschrieben hast das man die 5 varialblen in die allgemeine Funktion einsetzt?
somit hätte man dann die Punkte:
vorgegeben: P(-4/6) und Q (4/2)
herausgefunden: A (-4/0) >> als Extremwert
B (4/0) >> als Wendestelle
C (4/0) >> als waagerechte Tangente
und diese Werte setzt man dann in die allgemeine Formel ein?
also: f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e?
Die Matrix würde dann so aussehen:
256 -64 16 -4 1 | 6
256 64 16 4 1 | 2
256 -64 16 -4 1 | 0
256 64 16 4 1 | 0
256 64 16 4 1 | 0