FREIHEITSGRADE (STATISTIK)

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2 Antworten

Das vertrackte bei den Freiheitsgraden ist der Name. Man ist versucht, da Ausprägungen der Freiheit zu zählen. Ich würde da nicht lange suchen, sondern diese df einfach als Nummerierungen (Parameter) von Wahrscheinlichkeitsverteilungen interpretieren.

Fast immer, wenn von df die Rede ist, geht es um eine der unendlich vielen Chiquadrat-Verteilungen, die mit dem Parameter df durchnummeriert werden. Wenn ich eine Stichprobe der Größe N aus Ziehungen (Werte) x(i) einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen habe und die Summe der quadrierten Werte x(i)² bilde, ist diese Summe Chiquadrat-verteilt. Die Verteilung hängt aber von N ab, weshalb man diese Chiquadrat-Verteilungen mit N durchnummeriert und die Nummer N dann df (deutsch FG) nennt, weil es die Zahl der freien Ziehungen ist.

Man kann nachweisen, dass auch die Summe (x(i) - M(x))² Chiquadrat-verteilt ist, wobei M(x) der Mittelwert der Werte ist. (Es geht immer noch um die standardnormalverteilte Zufallsvariable X.) Aber die passende Verteilung ist nicht die mit der Nummer N, sondern die mit der Nummer N-1. Also sagt man, dass die Zahl der Freiheitsgrade in diesem Fall df = N-1 ist. Das ist einfach Tatsache. Die Interpretation oder Merkregel, die dann nachgeschoben wird, lautet: Von den Differenzen x(i) - M(x) ist die letzte nicht mehr frei, weil die Summe aller Differenzen Null sein muss. Aber darauf kommt es gar nicht an, das ist nicht wichtig. Wichtig ist, dass die Verteilung der Summe eben die Nummer N-1 hat.

Ich habe gerade gesehen, dass der eben genannte Nachweis in http://de.wikipedia.org/wiki/Chi-Quadrat-Verteilung steht.

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Kommentar von lysaktet
07.10.2011, 02:14

Vielen Dank für die Erklärung. Du hast dir echt Mühe gemacht es mir möglichst verständlich nahe zu bringen. Deshalb habe ich Dir das Sternchen vergeben.

Ich denke, ich hab´s verstanden. Wobei ich aus deinem Link (ohne Erklärung) nicht schlauer geworden wäre. :-) Ist jetzt nicht negativ gemeint. Es ist nur witzig zu sehen was die Mathematiker unter dem Begriff "einfach" verstehen. ;-)

LG.

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http://de.wikipedia.org/wiki/Freiheitsgrad#Statistik

Oder: wenn Du eine Stichprobe der Größe n hast und willst sie auf einen bestimmten Mittelwert, z.B. MW=1,80 meter, testen, dann kannst Du neben den 1,80 meter die Größen für n-1 Personen theoretisch frei vorgeben und hast dann wegen der Vorgabe MW=1,80 nur einen Wert noch für die n-te Person. Insofern sind n-1 Personen frei.

So kann man sich das merken, aber natürlich ist das kein Beweis. Die mathematische Herleitung, dass die Mittelwertschätzung über eine Stichprobe der Größe n bei normalverteilter Grundgesamtheit t-verteilt mit n-1 Freiheitsgraden ist, kann man sich vielleicht in der Originalliteratur von R.A. Fisher ansehen oder in anderen Lehrbüchern.

Ich gehe mal davon aus, Du weißt, dass Schätzungen eines Parameters wie des Mittelwertes eine Verteilung haben - man kann theoretisch ja viele verschiedene Stichproben der Größe n ziehen mit jeweils unterschiedlichen Ergebnissen, insofern hat die Mittelwertzschätzung eine Verteilung und ergibt keinen festen Wert.

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Kommentar von lysaktet
07.10.2011, 02:42

Danke für die Erklärung. Ich würde gerne auch deine Antwort mit einem Sternchen auszeichnen (geht aber komischerweise nicht). Der Link ist auch gut. Blöderweise habe ich ihn bei Wikipedia nicht gefunden. Keine Ahnung wie ich da gesucht habe...

PS. Über die Verteilungen weiß ich Bescheid. Ich konnte nur die Logik hinter dem df=n-1 nicht herleiten... bis ich eure Erklärungen gelesen habe. ;-)

LG. lysaktet

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