Frage an die oder einen Mathe Profis?
Servus Nr 8 ist die Aufgabe, an der ich nun schon länger sitze ohne Lösung und Erfolg. Könnte mir jemand helfen und es lösen? Vielen dank
2 Antworten
Sei O der Urspung und a,b,c,d die Vektoren
a = OD, b = OB, c = BE, d = OC
Punkte:
P = 1/2*b + 1/2*d
Q = b + 1/2*a + 1/2*c
R = a + 1/2*b - 1/2*d
Vektor QP:
QP = Q - P = (b + 1/2*a + 1/2*c) - (1/2*b + 1/2*d)
QP = 1/2*(a+b+c-d)
Vektor QR:
QR = R - Q = (a + 1/2*b - 1/2*d) - (b + 1/2*a + 1/2*c)
QR = 1/2*(a-b-c-d)
Skalarprodukt QP * QR:
1/2*(a+b+c-d) * 1/2*(a-b-c-d) =
1/2*((a-d) + (b+c)) * 1/2*((a-d) - (b+c)) =
1/4*((a-d)² - (b+c)²)
Es gilt:
- die Winkel OBE und OAD sind aufgrund der Figursymmetrie identisch
- |b| = |d| und |a| = |c|
- |OD| = |a-d| und |OE| = |b+c|
Daraus folgt:
|a-d| = |b+c|
Somit ist das Skalarprodukt 0 und der Winkel zwischen QP und QR beträgt 90 Grad.
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Dann ist noch nachzuweisen, dass
|QP| = |QR|
Es muss gelten:
(a+b+c-d)² = (a-b-c-d)²
Ausmultiplizieren:
4*a*b + 4*a*c - 4*b*d - 4*c*d = 0
b*d = a*c = 0 (weil diese Vektoren senkrecht stehen)
Verbleibt:
a*b = -c*d
Für diese Skalarprodukte gilt:
cos(Winkel zwischen a/b) = (a*b)/(|a|*|b|)
cos(Winkel zwischen c/-d) = (c*-d)/(|c|*|-d|)
Aufgrund der Figursymmetrie sind die beiden Winkel identisch. Aus |b| = |d| und |a| = |c| folgt deshalb a*b = -c*d.
Hinweis: Das Parallelogramm ist punktsymmetrisch und somit auch die durch die Quadrate ergänzte Figur. Wenn du das noch fehlende Quadrat über der 4. Seite des Parallelogramms einzeichnest, erkennst du die Zusammenhänge leichter.