Mathe Lösung?

Kann jemand diese Aufgabe lösen ich sitze schon länger daran und es fällt mir schwer

Answer 1

[mihisu]

Im ersten Moment könnte man denken, dass es sinnvoll wäre u = e^x zu substituieren. Jedoch erhält man dann 1/(1+2u)² als Integranden, was sich evtl. nicht ganz so schön direkt integrieren lässt, sondern man evtl. nochmal eine zweite Substitution durchführen würde. Stattdessen würde ich eher empfehlen t = 1 + 2 ⋅ e^x zu substituieren, was dann zu 1/2 ⋅ 1/t² als neuen Integranden führt.

Möglicher Lösungsweg...

Answer 2

[Marouane2234]

$u\ =\ 1\ +\ 2\cdot e^x$

der Differenzialquotient:

$\frac{du}{dx}\ =\ 2e^x$

Umgestellt:

$dx\ =\ \frac{du}{2\cdot e^x}$

eingesetzt:

$\int\frac{e^x}{u^2}\cdot\frac{du}{2\cdot e^x}\ =\ \frac{1}{2}\int\frac{1}{u^2}du$

Wenn das Integral gelöst ist:

$-\frac{1}{2}u$

Rücksubstituieren: $-\frac{1}{2\left(2\cdot e^{x\ +1}\right)}\ +C$

Woher ich das weiß: Hobby – Iwas mit Zahlen und so

Answer 3

[Wechselfreund]

Substituiere (1+2e^x) = z

Answer 4

[Rammstein53]

Substitution:

$u = 2{e}^{x}+1$ $du = 2{e}^{x}$

Damit lautet das Integral:

$\frac{1}{2} \int \limits_{}^{} \frac{1}{u²} du$ Lösung:

$-\frac{1}{2u}$

Substitution rückgängig machen:

$-\frac{1}{2 (2{e}^{x} +1) } + C$