Flächenmoment Dreiviertelkreis?
Hallo Leute,
Ich bin verzweifelt auf der Suche nach einer Formel für das Flächenmoment eines Dreiviertelkreises. Könnte mir jemand weiterhelfen, ich wäre sehr dankbar. Lg
4 Antworten
...für das Flächenmoment
Welches ?
Ansonsten gibt es dafür nicht die eine Formel, sondern elementare Berechnungsmethoden, welche viele Situationen erfassen können, z,Bsp. der "Steinersche Satz" mit dessen Hilfe die Flächenmomente auch unregelmäßger Flächen aus bekannten Werten von Einzelflächen zusammengebastel werden können.
https://de.wikipedia.org/wiki/Steinerscher_Satz
An Viktor1 (oder auch den Fragensteller, der sich leider schon ausgeklinkt hat):
Ich weiß jetzt nicht, wo du einen Fehler siehst, daher würde ich es gerne langsam und im Detail vorrechnen, wie meine Idee war:
Schauen wir uns mal einen Dreiviertelkreis an.
Dieser setzt sich auch 3 Viertelkreisen zusammen.
Bezüglich der Achsen x und y will ich nun die Flächenmomente berechnen.
In der Tabelle finde ich für den Viertelkreis:
Die Flächenmomente J (anderes Symbol) des Dreiviertelkreises sind dann
Das muss doch richtig sein - oder?
Nun will ich diese auf das natürliche Achsensystem bringen, welches durch den roten Schwerpunkt des Dreiviertelkreises geht (doppelt gestrichene Achsen). Wie bekomme ich den? Der blaue Punkt soll zunächst der Schwerpunkt des Viertelkreises sein.
Man findet für den Viertelkreis durch seinen Schwerpunkt (gestrichene Achsen) in der Tabelle
Daraus folgt nach Steiner, dass der Abstand x-x' bzw. auch y-y'
beträgt, und daher der Abstand x-x'' bzw. y-y''
Nun folgt mit dem Satz von Steiner, angewandt auf den Dreiviertelkreis
Ich berechne also aus dem bekannten off-center Moment (bezogen auf x, y) das Moment durch den Schwerpunkt (bezogen auf x'', y''). Eingesetzt hab ich jetzt nicht, da es nur um den Rechenweg geht, und weniger, was konkret rauskommt.
Ich sehe jetzt keinen Grund, weshalb ich das nicht so machen dürfte.
Bitte sag mir anhand dieser Überlegung, wo du mich stoppen würdest - ich bin hier betriebsblind...
Auf jeden Fall brauchst du Lage des Gesamtschwerpunktes und die Schwerpunkte der Einzelflächen sowie ihre Trägheitsmomente.
Aber genau hier hätte ich die Schwerpunkte der Einzelflächen eben nicht gebraucht. Von der Berechnung des Gesamtschwerpunkts aus den Tabellenwerten mal abgesehen, aber das ist ja nur eine Nebenrechnung.
Ob jetzt der Zwischenschritt über das Flächenmoment Jxx sinnvoll ist weiß ich nicht.
Das Jxx ist ja bloß eine andere Bezeichnung für ∫y²dxdy. Davon reden wir doch die ganze Zeit oder? Der Doppelindex ist dem Tensorverhalten geschuldet. Oft steht auch einfach Jx. Nur damit wir vom selben reden.
Normalerweise werden Trägheitsmomente, Flächen und Schwerpunkte der Einzelelemente errechnet und der Schwerpunkt der gesamten Fläche.
Aber ich darf die Momente addieren, so wie ich es gemacht habe, solange sich alle auf das gleiche Koordinatensystem beziehen. Es ist dabei nicht notwendig, dass man über die Schwerpunkte geht. Bei den Viertelkreisen istr das ja der Fall.
Bei komplizierten Flächen geht dies i.R. auch nicht anders.
Ja, aber hier ist es ja gerade KEINE komplizierte Fläche.
Du schreibst außerdem unten.
Nein, wenn man die Bezugsachse zum Querschnitt ändert/dreht kann man dies nicht einfach so tun aufgrund der vorher errechneten Werte sondern es ergibt sich i.R.. eine ganz andere/neue Berechnung.
Rechnen muss man, aber nur ein wenig: Wenn ich die xy-Ebene z.B. noch um 45° drehen will, weil ich zB an einer symmetrischen Achsenlage interessiert bin, brauche ich nicht neu integrieren, sondern drehe einfach den Tensor entsprechend seiner Transformationsgesetze: aus einem Set von Ixx, Iyy und Ixy bekomme ich bei Drehung der Achsen in der xy-Ebene (x->ξ, y->η) ein neues Set Iξξ, Iηη, Iξη, welches sich aus den ursprünglichen Komponenten und dem Winkel einfach berechnen lässt. Man braucht halt das Deviationsmoment Jxy für den Drei-Viertelkreis bezüglich des Schwerpunkts, dieses ist in der Tabelle nicht gegeben, lässt sich aber durch eine unkomplizierte Integration ermitteln:
Wir können wiederum zuerst im xy System rechnen. Aus Symmetriegründen bleibt nur ein Vierteilkreis übrig und das Integral ist
Ixy := ∫y²dxdy = ... = R⁴/8
das indet man zB auch schon fertig in
https://wp.optics.arizona.edu/optomech/wp-content/uploads/sites/53/2016/10/OPTI_222_W61.pdf
Seite 35.
Damit habe ich auch schon das Deviationsmoment Jxy für den Dreiviertelkreis.
Nun muss ich nur noch Steiner anwenden, um dieses auf den Schwerpunkt zu transformieren. Egal was da rauskommt, es ist rechnerisch trivial.
Damit habe ich für den Dreiviertelkreis in Schwerpunkslage Jxx, Jyy und Jxy
und kann Drehungen um einen Winkel , α beliebig nach Schema F durchführen
Iξξ = Iξη(Ixx, Ixy, Iyy, α)
Iξη = Iξη(Ixx, Ixy, Iyy, α)
Iηη = Iξη(Ixx, Ixy, Iyy, α)
Vielleicht ist das nicht richtig rübergekommen gestern.
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_second_moments_of_area
hier wirst du fündig.
Das ist ein Halbkreis + ein viertel Kreis, die man dann über den Steinerschen Satz addieren muss.
hier ist ein kreis, ein halbkreis, ein viertelkreis, ein kreissegment mit beliebigem winkel. versteh deine anmerkung daher nicht. wenn ed dir nicht gefällt, kannst es auch rechnen.
hier ist ein kreis,....
usw. - aber das hilft nichts, wenn der FS nicht weiß, was er damit anfangen soll.
Dies erfolgt mit dem Steinerschen Satz, wobei da zuerst der Schwerpunkt des Dreiviertelkreises ermittelt werden muß und die zugehörigen Abstände der betrachteten Einzelflächen unter Berücksichtigung der Lage des Bezugswinkels zur Bezugsachse.
Die Sache ist schon komplex und der FS hat da kein Ahnung weil er nach einer Formel fragt.
Die Formeln für die Einzelflächen hat er wohl schon gefunden (er hat ja schon verzweifelt weiter gesucht) - das ist das Wenigste.
die man dann über den Steinerschen Satz addieren muss.
Ganz so einfach ist es nicht - s.meinen Kommentar zum Kommentar von michi.
geb ich dir recht. aber bissl was kann man selbst auch machen...
bissl was kann man selbst auch machen...
ja klar -aber das "bissl" sind eben eben nur die Formeln für die Teilkreise bei einem festgelegtem Winkel.
Diese sind erstens noch nicht mal vollständig (Schwerpunktlage) und bei einem beliebigem Winkel der x/y-Achse wird es kompliziert - ich wüßte dann vorerst auch mal nicht wie - Schwerpunkte gut, irgendwie, auch gedreht, aber Trägheitsmomente der gedrehten Einzelflächen ? Weißt du wie ?
Mach mal "ein bissl".
er hat nichts daüber gesagt, bezüglich welcher symmtrieachse er die momente will. bezüglich der Achse durch den kreismittelpunkt, was hier die naheligendste interpretation ist, ist es aber "trivial".
bezüglich der Achse durch den kreismittelpunkt, was hier die naheligendste interpretation ist,
Ich befürchte, du stehst auch auf dem Schlauch.
Wenn aus dem Kreis ein Stück rausgeschnitten wird dann geht die Achse für das Tragheitsmoment nicht mehr durch den "Kreismittelpunkt" - außer ,hier bei dem Beispiel , unter 45 Grad ! durch die einzige Symmetrieachse. Dann würden die Formeln für Einzelträgheitsmomente wie sie gegeben sind aber nicht mehr zutreffen.
Das Flächen-Trägheitsmoment ist normal immer zu einer Achse zu berechnen, welche durch den Flächenschwerpunkt geht. Die Angaben (Formeln)für die Einzelflächen haben für sich diesen Bezug und zwar in der Lage, wie sie abgebildet sind.
Der Dreiviertelkreis mit dieser Lage hat dafür aber keine Bezugsachse, welche durch diesen "Mittelpunkt" geht sondern sie muß erst errechnet werden.
>Ich befürchte, du stehst auch auf dem Schlauch.
Nein, tu ich nicht
Wenn aus dem Kreis ein Stück rausgeschnitten wird dann geht die Achse für das Tragheitsmoment nicht mehr durch den "Kreismittelpunkt" - außer ,hier bei dem Beispiel ,unter 45 Grad! durch die einzige Symmetrieachse. Dann würden die Formeln für Einzelträgheitsmomente wie sie gegeben sind aber nicht mehr zutreffen.
Wenn man ein Trägheitsmoment hast, welches auf ein spezielles Koordinatensystem bezogen ist, dann kann man das Trägheitsmoment auf ein gedrehtes Koordinatensystem durch eine Koordinatentransformation ausrechnen. Dazu braucht man bloß wissen, wie man eine Drehung beschreibt und ein paar ganz fundamentale Beziehungen über Winkelfunktionen. Die Trägheitsmomente sind ja Tensoren und unterliegen demnach definierten Transformationsgesetzen. Es genügt daher, das Trägheitsmoment für eine spezielle Konfiguration anzugeben um daraus alle anderen Spezialfälle ausrechnen zu können. Das ist ja kein Hexenwerk und die Formeln werden in jedem Buch über technische Mechanik hergeleitet.
Das Flächen-Trägheitsmoment ist normal immer zu einer Achse zu berechnen, welche durch den Flächenschwerpunkt geht.
Das Flächen-Trägheitsmoment muss immer mit einer Bezugsachse angegeben werden. Geht diese durch den Schwerpunkt, dann muss man das angeben oder es ist aus dem Kontext heraus klar (z.B. wenn man Biegelinien berechnet). Das ist, was du unter "normal" verstehst.
Die allgemeine Definition geht über eine beliebige Achse.
Die Angaben (Formeln)für die Einzelflächen haben für sich diesen Bezug und zwar in der Lage,wie sie abgebildet sind.
Die in der Tabelle angegebenen Formeln beziehen sich bei den Viertel- und Halbkreisen i.A. nicht auf den Schwerpunkt. Da liest man
A filled quarter circle with radius r with the axes passing through the bases
und auch
A filled quarter circle with radius r with the axes passing through the centroid
Beide Fälle sind also angegeben! Was will man mehr? Wenn der Fragesteller das Moment bezüglich des Schwerpunktes wissen will, braucht er ja nur den Satz von Steiner anzuwenden, um herauszufinden wo dieser ist und dann einen Dreiviertelkreis aus einem Vollkreis minus Viertelkreis bilden. Ich sehe da eigentlich keine besondere rechnerische Herausforderung, und genau das hat Hamburger02, ja auch selbst du weiter oben sagen wollen.
Wenn jemand schon weiß, was ein Flächenträgheitsmoment ist, ist diese kleine Rechenübung zumutbar. Es handelt sich beim Fragestelletr ja vermutlich um keinen Grundschüler, sondern eher um jemanden, der ausbildungsmäßig mit Mechanik zu tun hat. Ich wollte nur den Tipp geben, das man hier alles findet was man braucht, ohne selbst integrieren zu müssen. Der Rest ist Eigeninitiative, aber in 10 bis 20 Minuten erledigt.
Der Dreiviertelkreis mit dieser Lage hat dafüraber keine Bezugsachse, welche durch diesen "Mittelpunkt" geht sondern sie muß erst errechnet werden.
Aus dem obigen sollte klar geworden sein, dass das nicht zutrifft bzw. ein Hindernis darstellt.
und die Formeln werden in jedem Buch über technische Mechanik hergeleitet.
Das ist ja noch komplizierter - weiß du wie das (leicht) geht ?
Man müßte aber dann doch mindestens für 2 "Hauptachsen" die Flächenträgheitsmomente haben.
Die in der Tabelle angegebenen Formeln beziehen sich bei den Viertel- und Halbkreisen i.A. nicht auf den Schwerpunkt.
Oh doch, auf ihren eigenen schon - sie hätten sonst auch keinen Wert für die "Steinersche Regel". Den Schwerpunkt der Einzelflächen brauche ich allemal, so oder so.
Es sind auch Formeln angegeben, welche sich auf eine Bezugsachse am Rand der Figuren beziehen, welche hier aber nicht gebraucht werden.
Für die "Symmetrieachse" der gedachten Figur des FS braucht man hier unter Verwendung der gegeben Formeln der Teilfiguren überhaupt keinen Steinerschen Satz.
Dies war aber so weder von dir noch Hamburger am Anfang gedacht (ob vom FS weiß man nicht) was diese Aussage von euch beiden belegt.
"Das ist ein Halbkreis + ein viertel Kreis,..."
Denn die gegeben Formeln dazu wären dann bei dieser Bezugsachse nicht brauchbar, sonder nur Vollkreis und Kreisausschnitt mit Winkel, welche dann mit ihren Schwerpunkten ja auch auf der gleichen Achse liegen wie die betrachtete Figur.
siehst du nicht, was in der tabelle beim viertelkreis steht? ich habs nachgerechnet, das ist nicht auf den schwerpunkt bezogen, sondern auf das koordinstensystem das man dort sieht. reden wir möglicherweise aneinander vorbei?
warum sollten die formeln nicht brauchbar sein? so wie es dort gezeichnet ist stimmen sie. wenn man dann die achse drehen muss, kann man das ja am ende tun. ich versteh nicht, was du sagen willst.
was in der tabelle beim viertelkreis steht? ich habs nachgerechnet, das ist nicht auf den schwerpunkt bezogen,
Genau - einmal geht das Koordinatensystem durch den Schwerpunkt und einmal berührt es die Figur am Rand. Nur das erstere ist tauglich für den "Steinerschen Satz".
Siehst du doch selbst, das die x-Achse eine unterschiedliche Lage, hat die Ergebnisse entsprechend
Für das "Problem" des FS ist also nur das erstere brauchbar wenn er mit dem Viertelkreis rechnen müßte.
Lies dir dies einfach mal durch.
https://de.wikipedia.org/wiki/Steinerscher_Satz#Anwendung_auf_Fl%C3%A4chentr%C3%A4gheitsmomente
Der Schwerpunkt des Dreiviertelkreises ist hier maßgebend für den Bezug aller Berechnungen, welche z.Bsp. A*ys² beinhalten. Dieser muß erst ermittelt werden, wenn hier seine Symmetrieache nicht die Bezugsachse ist.
Aber dann - ich sagte es schon - wäre der Steinersche Satz hier nicht mehr nötig.
wenn man dann die achse drehen muss, kann man das ja am ende tun
Nein, wenn man die Bezugsachse zum Querschnitt ändert/dreht kann man dies nicht einfach so tun aufgrund der vorher errechneten Werte sondern es ergibt sich i.R.. eine ganz andere/neue Berechnung.
PS
Ich kenne mich wirklich aus. Ich habe in meinem Berufsleben zu hauf Querschnittwerte "unregelmäßiger" Flächen ermittelt welche für statische Berechnungen und die Beanspruchung von Querschnitten erforderlich waren, eben auch Trägheits- und Widerstandmomente.
Du solltest deine Einlassung nochmals durchdenken.
ich habe meine Überlegungen nochmals überdacht und kann keinen Fehler finden. Kannst du das bitte anschauen? Ich habe es separat hier gepostet, wegen Bilder und Formeln. Danke.
Du hast die Frage leider nicht genau genug gestellt. Siehe Hinweise in den anderen Antworten. Mach eine Zeichung, dann weiß man was du genau meinst. Du hast nicht mal gesagt, ob du ein uni-axiales oder ein polares Moment suchst.
Ich habe es noch nicht durch gerechnet, aber so könnte es hier auch gehen.
(melde mich am Montag wieder)
Die Schwerpunktlagen sind hier richtig.
Auf jeden Fall brauchst du Lage des Gesamtschwerpunktes und die Schwerpunkte der Einzelflächen sowie ihre Trägheitsmomente.
Ob jetzt der Zwischenschritt über das Flächenmoment Jxx sinnvoll ist weiß ich nicht.
Normalerweise werden Trägheitsmomente, Flächen und Schwerpunkte der Einzelelemente errechnet und der Schwerpunkt der gesamten Fläche.
Auf die entsprechende Achse bezieht sich dann die Berechnung nach Steiner mit diesen Werten.
Bei komplizierten Flächen geht dies i.R. auch nicht anders.