Ist meine Lösung richtig?

Hi!

Ich habe folgende Matheaufgabe (LK Kl. 11):

Für jedes a (a € R) ist eine Funktion fa durch fa(x)= 2x * ln(x) - a*x (x€ D[fa]) gegeben.

Im Punkt P(z; f2(z)) mit z > 1 wird an den Graphen der Funktion f2 (a=2) die Tangente t gelegt, die zusammen mit den Koordinatenachsen ein Dreieck bildet. Bestimmen Sie den Wert z, für den der Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks ein lokales Extremum besitzt. Geben Sie den extremen Flächeninhalt sowie die Art des Extremums an.

Ich bin so vorgegangen und bin mir echt nicht sicher:

1. Habe ich eine Skizze gemacht.
2. $A\left(\frac{z}{f\left(z\right)}\right)=\frac{z\cdot f\left(z\right)}{2}$ $f\left(z\right)=2\cdot z\cdot\ln\left(z\right)-2z$ $A\left(z\right)=z\cdot2\cdot z\cdot\ln\left(z\right)-2z2z\cdot\frac{1}{2}=z^2\cdot\ln\left(z\right)-z^2$
3. $A'\left(z\right)=2\cdot z\cdot\ln\left(z\right)-z$ $0=2\cdot z\cdot\ln\left(z\right)-z$ $z=\sqrt{e}$
4. $A''\left(z\right)=2\cdot\ln\left(z\right)+1$ $A''\left(\sqrt{e}\right)=2\Rightarrow\$ es gibt ein Minimum bei $P\left(\sqrt{e}\left|-\sqrt{e}\right|\right)$
5. $A=\sqrt{e}-\frac{\sqrt{e}}{2}=1,4\ FE$ Das entdpricht 1,4 Flächeneinheiten

Ich bin eigentlich zufrieden mit meinem Lösungsweg, aber nicht mit der Lösung, weil sie ja negativ ist. Außerdem ist das der einzige Lösungsweg, der mir eingefallen ist.

Wäre super, wenn jmd sagen könnte, ob das richtig ist oder falsch und bei letzteren Fall, mir helfen könnte.

Danke für jede hilfreiche Antwort im Voraus!

Answer 1

[MichaelH77]

Ich verstehe deinen Ansatz für die Dreiecksfläche nicht

hast du die Tangente an f_2 berechnet?
der Berührpunkt ist (z | 2z*ln(z)-2z)
Ableitung:
$f_2'\left(x\right)=2\ln\left(x\right)$ Tangente in B:
$y=2\ln\left(z\right)\cdot x-2z$ Schnittpunkte dieser Tangenten mit den Koordinatenachsen:
(0 | -2z) und (z/ln(z) | 0)
Dreiecksfläche:
$A\left(z\right)=\frac{1}{2}\cdot2z\cdot\frac{z}{\ln\left(z\right)}\ =\ \frac{z^2}{\ln\left(z\right)}$ A'(z)=0 => z=0 oder z=e^(1/2)
z=0 ist keine Lösung
$z=e^{\frac{1}{2}}=\sqrt{e}$ Flächeninhalt
$A\left(\sqrt{e}\right)=2e$ dieses Ergebnis passt auch zu folgendem Schaubild:

Comments

[Tom140603]

Erstmal vielen Dank, deine Lösung ist echt plausibel. Nur eine Frage: Bei der Stelle A(z) in deiner Lösung. Warum wird da aus -2z ein positives 2z?

[MichaelH77]

@Tom140603

bei der Fläche nimmt man immer postive Längen. Der y-Achsenabschnitt ist -2z, d.h die Länge ist dann 2z (wenn z positiv)

[Tom140603]

@MichaelH77

Ah, okay. Ja, macht auch sinn. Vielen Dank!