Extremwertaufgabe - Pythagoras - Diagonale?

Ich habe folgendes Beispiel:

Gesucht sind die Seitenlängen x und y des flächengrößten Rechtecks mit einer Diagonale von d=3 mal die Wurzel aus 2 m. Berechne den maximalen Flächeninhalt.

Ich habe bis jetzt:

Hauptbedingung: A (x,y) = x*y

Nebenbedinung: d^2 = x^2 + y^2

Kann mir wer helfen?

Danke für die Unterstützung!

Answer 1

[evtldocha]

$A\left(x\right)=x\cdot y$ $d^2=x^2+y^2\ \rightarrow\ y=\sqrt{d^2-x^2}=\sqrt{18-x^2}$

Damit ist die Flächenfunktion unter Berücksichtigung der Randbedingung:

$A\left(x\right)=x\cdot\sqrt{18-x^2}=\ \sqrt{18\cdot x^2-x^4}$

Die Ableitung davon ist:

$A'\left(x\right)=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{18x^2-x^4}}\cdot\ \left(36\cdot x-4\cdot x^3\right)$

Nullstellen (Satz vom Nullprodukt - x=0 ist im Zusammenhang nicht weiter von Interesse):

$36⋅x−4⋅x^3=\ x\cdot\left(36\ -4x^2\right)=0\$

$36\ -4x^2=0\ \Leftrightarrow\ x^2=9\ \Leftrightarrow\ x_{1/2}=\pm\ 3$

Im Sachzusammenhang ist nur die positive Lösung von Interesse. Damit:

$x=3\ und\ y=\sqrt{18-3^2}=\sqrt{9}=3$

(für wird auch nur die positive Lösung der Wurzel benötigt).

Nicht ganz überraschend ist das Quadrat das größte Rechteck bei gegebener Diagonale und wer diesen Sachverhalt kennt, hätte x und y auch aus der gegebenen Diagonale sofort ohne Rechnung abgelesen.

Anmerkung: Die Einheit ist "m" (Meter) und wurde hier der Einfachheit halber weggelassen. Sie gehört jedoch zu einer vollständigen Lösung.

Answer 2

[tunik123]

Man könnte von der Nebenbedingung 2*A subtrahieren.

d^2 - 2A = x^2 - 2xy + y^2

d^2 - 2A = (x - y)^2

Weil (x - y)^2 nicht negativ sein kann, sieht man, dass A maximal d^2/2 sein kann, und dass das für x = y der Fall ist.

Answer 3

[Hacken90]

Soweit sogut. Jetzt die Nebenbedingung umfomen, dass auf einer Seite nur noch y steht. Also auf beiden Seiten - x^2 rechnen, dann die Wurzel ziehen und für d den gegebenen Wert einsetzen. Jetzt weißt du was du für y in die Hauptbedingung einsetzen musst, sodass du eine Funktion hast, die nur noch von x abhängig ist. Den Extremwert findest du, indem du die 1. Ableitung gleich 0 setzt.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Studium Wirtschaftsingenieurwesen