Erklärung für den Basis-Isomorphismus?

Hallo Alle,

ich bin maximal am Verzweifeln an einer Aufgabe (b) von meinem Mathe Übungsblatt. Undzwar geht es hier um den Basis-Isomorphismus. Problem dabei: der Prof hat lediglich eine halbe seite zu diesem Thema geschrieben und ich kann daraus nicht wirklich rauslesen wie der Lösungsweg verlaufen soll. Ich habe bereits Bücher durchforstet und Gegoogelt aber es kam nichts treffendes raus. Vielleicht kann mir hier jemand helfen...

Answer 1

[mihisu]

Zunächst einmal ist da von einem „Basis-Isomorphismus auf die Standardbais“ die Rede. Da solltest du dir klar machen, was so ein Basis-Isomorphismus macht... Das ist ein Isomorphismus, welcher die Basisvektoren der Basis C auf die Basis-Vektoren der Standardbasis abbildet. Also...

$\Phi_\mathcal{C}(v_1)=e_1,\quad \Phi_\mathcal{C}(v_2)=e_2$

Also...

$\Phi_\mathcal{C}(1, 3)=(1, 0),\quad \Phi_\mathcal{C}(0, 1)=(0, 1)$

Soweit so gut. Wenn man weiß, was ein Isomorphismus mit einer Basis macht, ist der Isomorphismus eindeutig definiert.

Bzw. weißt du dann bei diesem Isomorphismus auch, dass offensichtlich umgekehrt gilt...

$\Phi_\mathcal{C}^{-1}(e_1)=v_1,\quad \Phi_\mathcal{C}^{-1}(e_2)=v_2$

============

Nun ist nach der Matrix einer linearen Abbildung gefragt. Dazu solltest du dir klar machen, wie solch eine Matrix überhaupt definiert ist...

Stecke die Basisvektoren (der Basis im Definitionsbereich der Abbildung) in die Abbildung und stelle das Ergebnis jeweils als Linearkombination der Basisvektoren (der Basis im Zielbereich der Abbildung) dar. Die Koeffizienten der Linearkombinationen kann man dann spaltenweise in Form einer Matrix aufschreiben, um die gesuchte Matrix zu erhalten.

Im konkreten Fall musst du also wegen dem „bezüglich der Standardbasis“ mit den Basisvektoren e₁, e₂ der Standardbasis arbeiten. Stecke diese Basisvektoren in die Abbildung und stelle das Ergebnis jeweils wieder als Linearkombination dieser Standard-Basisvektoren dar.

Die Rechnung dazu kann dann folgendermaßen aussehen...

$(\Phi_\mathcal{C}\circ f\circ \Phi_\mathcal{C}^{-1})(e_1)$

$\quad \overset{[1]}{=} \Phi_\mathcal{C} (f (\Phi_\mathcal{C}^{-1}(e_1)))$

$\quad \overset{[2]}{=} \Phi_\mathcal{C} (f (v_1))$

$\quad \overset{[3]}{=} \Phi_\mathcal{C} (3v_1)$

$\quad \overset{[4]}{=} 3\,\Phi_\mathcal{C} (v_1)$

$\quad \overset{[5]}{=} 3e_1$

$\quad \overset{[6]}{=} 3 e_1+0 e_2$

$(\Phi_\mathcal{C}\circ f\circ \Phi_\mathcal{C}^{-1})(e_2)$

$\quad \overset{[1]}{=} \Phi_\mathcal{C} (f (\Phi_\mathcal{C}^{-1}(e_2)))$

$\quad \overset{[2]}{=} \Phi_\mathcal{C} (f (v_2))$

$\quad \overset{[3]}{=} \Phi_\mathcal{C} (6v_2)$

$\quad \overset{[4]}{=} 6\,\Phi_\mathcal{C} (v_2)$

$\quad \overset{[5]}{=} 6e_2$

$\quad \overset{[6]}{=} 0e_1+6e_2$

• In Schritt [1] wurde die Definition der Verkettung von Abbildungen verwendet.
• In Schritt [2] wurde verwendet, dass Φ_C ein Basis-Isomorphis von C zur Standardbasis ist, also v₁ auf e₁ bzw. v₂ auf e₂ abbildet.
• In Schritt [3] wurde das Ergbnis von Teil 1 der Teilaufgabe b) verwendet.
• In Schritt [4] wurde verwendet, dass Φ_C als Isomorphismus insbesondere eine lineare Abbildung ist, sodass man den skalaren Faktor rausziehen kann. (Stichwort: Homogenität)
• In Schritt [5] wurde wieder verwendet, dass Φ_C ein Basis-Isomorphis von C zur Standardbasis ist, also v₁ auf e₁ bzw. v₂ auf e₂ abbildet.
• In Schritt [6] wurde dann noch der Übersicht wegen der andere Basisvektor mit Koeffizient 0 hinzugefügt, damit man die Darstellung bzgl. der kompletten Basis vorliegen hat.

Nun kann man die Koeffizienten 3, 0 und 0, 6 spaltenweise in eine Matrix schreiben (also 3 und 0 in die erste Spalte und 0 und 6 in die zweite Spalte) und erhält...

$\begin{pmatrix}3 & 0 \\ 0 & 6\end{pmatrix}$

..., welche offensichtlich eine Diagonalmatrix ist, da nur die Einträge auf der Hauptdiagonalen ungleich 0 sind. [... was daran liegt, dass von der entsprechenden Abbildung ein Standard-Basisvektor nur wieder auf ein Vielfaches des gleichen Standard-Basisvektors abgebildet wird.]

Answer 2

[ChrisGE1267]

Das hast Du ja im Wesentlichen schon unter 1. gezeigt. Wenn e_1 und e_2 die Elemente der Standard-Basis sind, gilt Phi_C(v_1) = e_1, Phi_C(v_2) = e_2, daher auch Phi_C^(-1)(e_1) = v_1 und Phi_C^(-1)(e_2) = v_2, also

Phi_C(f(Phi_C^(-1)))(e_1) = Phi_C(f)(v_1) = Phi_C(3 v_1)) = 3 e_1

Dasselbe analog bei Anwendung auf e_2.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dr. rer. nat. Analytische & Algebraische Zahlentheorie

Comments

[David050805]

Ich habe es so versucht, wäre die diagnonalmatrix dann (3-0-0-6)?

[ChrisGE1267]

@David050805

So ist es…😀

[David050805]

@ChrisGE1267

Wirklich vielen Dank, ich denke ich habe mich zu sehr verstrickt in den anderen Sachen :)

[ChrisGE1267]

@David050805

Gerne geschehen…😀