Einen Punkt bestimmen?
Der Punkt C liegt auf der y-Achse. Die Gerade durch A und C steht senkrecht zur Geraden durch B und C. Bestimmen sie die Koordinaten aller Punkte, die die beschriebenen Eigenschaften den Punkts C haben. A(2|-3|1) und B(2|3|1) sind gegeben
1 Antwort
Da es sich um einen dreidimensionalen Raum handelt, gehe ich davon aus, dass ihr den Begriff "Skalarprodukt" kennt. (Im Zweidimensionalen ist es möglich, mit den Steigungen in den Geradengleichungen zu arbeiten.)
Zwei Geraden stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn ihre Richtungsvektoren senkrecht aufeinander stehen, und dies ist genau dann der Fall, wenn ihre Richtungsvektoren das Skalarprodukt 0 haben.
Wenn zwei verschiedene Punkte einer Geraden gegeben sind, können wir die Differenz ihrer Ortsvektoren als Richtungsvektoren nehmen und einen der beiden Punnkte als Stützpunkt. Glücklicherweise liegen weder A noch B auf der y-Achse (wenigstens eine der x- und z-Koordinaten ist ungleich 0), damit können wir z. B. (C-A) und (C-B) als Richtungsvektoren verwenden.
Da sich die Geraden in C treffen sollen, nehmen wir sinnvollerweise C als Stützpunkt beider Geraden. Üblicherweise nimmt man den Stützvektor als Subtrahenden (Ausdruck nach dem "-"-Zeichen), deshalb kann es sinnvoll sein, (A-C) und (B-C) als Richtungsvektoren zu nehmen.
Geben wir den Koordinaten Namen: Sei C = (x, y, z)^T
("^T": transponierte Matrix - üblicherweise schreibt man Vektoren als Spalten)
Damit haben wir:
Gerade durch A und C: P = (x, y, z)^T + a * (2-x, -3-y, 1-z)^T (a ∈ ℝ)
Gerade durch B und C: Q = (x, y, z)^T + b * (2-x, 3-y, 1-z)^T (b ∈ ℝ)
Gerade durch A und C senkrecht zu Gerade durch B und C:
(2-x, -3-y, 1-z)^T • (2-x, 3-y, 1-z)^T = 0
C liegt auf y-Achse: x = 0 und z = 0
Dieses Gleichungssystem nach x, y, z auflösen ergibt alle gesuchten Punkte