Doppelsumme berechnen?

Hallo, kann mir jemand erklären wie man diese Doppelsumme berechnet

Answer 1

[mihisu]

$\sum\limits_{i=0}^{n}\sum\limits_{j=0}^{n}{2}^{i}$ $\overset{[\text{Schritt 1}]}{=}\sum\limits_{i=0}^{n}\left(n+1\right)\cdot {2}^{i}$ $\overset{[\text{Schritt 2}]}{=}\left(n+1\right)\cdot \sum\limits_{i=0}^{n}{2}^{i}$ $\overset{[\text{Schritt 3}]}{=}\left(n+1\right)\cdot \frac{2^{n+1}-1}{2-1}$ $\overset{[\text{Schritt 4}]}{=}\left(n+1\right)\cdot \left(2^{n+1}-1\right)$

======Zu Schritt 1======

Der Summand hängt nicht vom Summationsindex j der inneren Summe ab. Man hat einfach (n+1)-mal den gleichen Summanden.

$\sum\limits_{j=0}^{n}2^{i}=\underbrace{\overbrace{2^{i}}^{\text{für }j=0}+\overbrace{2^{i}}^{\text{für }j=1}+\overbrace{2^{i}}^{\text{für }j=2}+\ldots+\overbrace{2^{i}}^{\text{für }j=n}}_{\left(n+1\right)\text{-mal }2^{i}}=\left(n+1\right)\cdot 2^{i}$

Allgemein erhält man für einen konstanten Summanden k und für ganze Zahlen a, b mit a ≤ b...

$\sum\limits_{i=a}^{b}k=\left(b-a+1\right)\cdot k$

======Zu Schritt 2======

Den konstanten Faktor (n+1) kann man aus der Summe ausklammern.
[Stichworte dazu: „Distributivität“, „Linearität der Summe“]

======Zu Schritt 3======

Man hat eine sogenannte geometrische Summe vorliegen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

Man kann hier die Formel

$\sum\limits_{i=0}^{n}q^i = \frac{q^{n+1}-1}{q-1}\quad \text{bzw.}\quad\sum\limits_{i=0}^{n}q^n = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$

im konkreten Fall mit q = 2 anwenden.

======Zu Schritt 4======

Im Nenner erhält man 2 - 1 = 1. Die Division durch 1 ändert nichts, kann also weggelassen werden.

Comments

[Delta45]

Muss q^ i sein in der Formel!

Answer 2

[Willy1729]

Hallo,

das ergibt doch überhaupt keinen Sinn. Nirgends taucht ein j auf, für das man Zahlen von 0 bis n einsetzen könnte.

Soll die linke Summe vielleicht von i=0 bis j gehen?

Dann würde die Obergrenze der äußeren Summe immer um 1 erhöht.

Das ergäbe dann 1 für j=0, 1+2 für j=1, 1+2+4 für j=2 usw.

Aber so...

Herzliche Grüße,

Willy

Answer 3

[Jangler13]

Der Summierte Term hängt nicht von j ab, die innere Summe ergibt somit (n+1)*2^i.

Nutze nun die Formeln für Geometrische Summen, um die Summe von 2^i von i=0 bis n zusammenzufassen.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mache derzeit meinen Mathematik Master