Die wurzel aus einer primzahl ist nie eine natürliche Zahl?
wieso ist das so ?
7 Antworten
Weil das Wurzel ziehen nur "aufgeht", wenn die Primfaktorzerlegung nur doppelte Faktoren enthält. Zum Beispiel ist
denn: Es ist
und damit
Du kannst dir ja mal überlegen, warum das so sein muss, damit die Wurzel eine natürliche Zahl ist. Auf der anderen Seite haben aber Primzahlen eine ganz einfache Primfaktorzerlegung - denn der einzige Primfaktor ist dort die Primzahl selbst (denn jeder Primfaktor wäre sofort ein Teiler und davon gibt es bei Primzahlen keine nicht-trivialen).
Oder andersherum ausgedrückt: Wenn die Wurzel einer Zahl q eine natürliche Zahl ist, dann gilt
und wenn q ein Quadrat ist, ist q sicher keine Primzahl, denn dann gibt es mindestens drei Teiler: 1, w und w².
Wenn es eine Primzahl geben würde, deren Wurzel eine natürliche Zahl n wäre, dann würde gelten n•n = Primzahl und das ist ein Widerspruch zur Definition einer Primzahl.
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Die Regel ist eigentlich sogar noch krasser, als in deiner Frage.
Tatsächlich gilt:
Nur die Wurzeln aus Quadratzahlen sind natürliche Zahlen!
Alle anderen Wurzeln - aus Nicht-Quadratzahlen - sind nie natürlich und nie rational sondern immer irrational.
Wäre die Wurzel aus einer Primzahl eine natürlich Zahl, dann wäre diese natürliche Zahl Teiler der Primzahl.
Eine Primzahl hat aber keine Teiler.
Das ist ein Widerspruch. Also gibt es keine solche natürliche Zahl.
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die größer als 1 und ausschließlich durch sich selbst und durch 1 teilbar ist.
Weil das Produkt zweier Faktoren aus {N} neben eins und sich selbst immer auch durch eben diesen Faktor teilbar ist. Somit ist es keine Primzahl.
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