Warum ist die wurzel aus einer primzahl nie eine natürliche zahl?
Joa meine frage steht ja oben aber nochmak hier Warum ist die wurzel aus einer primzahl nie eine natürliche zahl?
8 Antworten
eine primzahl zeichnet sich dadurch aus, dass sie nicht teilbar ist außer durch 1 und sich selbst, also auch nicht durch malnehmen erreichbar ist (nur mit natürlichen zahlen). also wird sie auch nicht erreichbar sein, wenn man 2 gleiche natürliche zahlen malnimmt.
Als 1 noch eine Primzahl war, hätte es nicht gestimmt, denn 1² = 1.
Da sie aber inzwischen diesen Status verloren hat. gibt es per definitionem keine Primzahl mehr, die sich in zwei gleiche ganze Zahlen zerlegen ließe, geschweige denn in zwei natürliche.
eine primzahl ist doch so definiert, dass sie nur durch 1 und sich selbst teilbar ist (ganze zahlen) heißt doch, dass du keine 2 gleiche ganze zahlen finden kannst, die du wenn du sie multiplizieren würdest eine primzahl dabei rauskommt (=
Relativ schnell erklärt..
Die Wurzel einer natürlichen Zahl größer 1 kann nur dann natürlich sein, wenn sie einen von 1 und sich selbst anderen Teiler hat (notwendige Bedingung). Da Primzahlen als Teiler nur 1 und sich selbst haben, kann also keine natürliche Zahl rauskommen.
Eleganter kannst dus formulieren mit einem der Wurzelsätze, die Quadratwurzel jeder natürlichen Zahl, die keine Quadratzahl ist, ist irrational. Per definitionem können Primzahlen keine Quadratzahlen sein.
LG
Nun andernfalls ließe sich die zahl ja als Produkt von ihrer (natürlichen) Wurzel mit sich selbst schreiben und wäre folglich keine Primzahl mehr.