Pi als Wurzel einer Zahl?
Gibt es zwei natürliche Zahlen a und b, sodass pi^a=b ?
2 Antworten
Nein, gibt es nicht.
pi ^ 3 = 31,0062766803
Das ist dicht an der 31 dran, aber eben nicht exakt 31
∛(31) ≈ 3,1414 während pi auf 4 Stellen nach dem Komma gerundet 3,1416 wäre.
86556004192 ^ (1 / 22) ≈ 3.1415926536
Das können viele Taschenrechner aber bereits nicht mehr verarbeiten.
Das kann man natürlich ganz leicht weiterführen. Wirklich "interessant" wären aber Näherungen dieser Art nur dann, wenn man für Pi deutlich mehr "gültige" Dezimalen von Pi erhält, als man für die Darstellung von Radikand und Wurzelexponent "investieren" muss.
Nein. Man kann zeigen, dass π eine transzendente Zahl ist, also nicht Nullstelle eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten ist. Insbesondere ist damit π nicht Nullstelle eines Polynoms der Form X^a - b (bzgl. Variable X) mit natürlichen Zahlen a und b. Damit gibt es also keine natürliche Zahlen mit π^a - b = 0 bzw. π^a = b.
Noch ein paar Dinger die ich gefunden habe :
9489 ^ (1 / 8) ≈ 3.1416 (8-te Wurzel)
29809 ^ (1 / 9) ≈ 3.14159 (9-te Wurzel)
93648 ^ (1 / 10) ≈ 3.141592
294204 ^ (1 / 11) ≈ 3.1415926
9122171 ^ (1 / 14) ≈ 3.14159265
28658146 ^ (1 / 15) ≈ 3.141592654