Die Gauß-Norm der mittleren quadratischen Abweichung ist eine streng konvexe Norm. Gibt es ein einfacheres Beispiel für eine solche Norm?
1 Antwort
Jeder Vektorraum über den reellen/ komplexen Zahlen zusammen mit der von einem euklidischen/ unitären Skalarprodukt induzierten Norm (also jeder Prähilbertraum) ist ein strikt konvexer Raum. D.h. insbesondere ist ℝ^n zusammen mit der euklidischen Norm ein strikt konvexer Raum.
Für den Beweis verwendest du die Parallelogrammgleichung (PG):
Nach kurzer Rechnung ergibt sich:
Daraus folgt mit dem Satz von Bernstein-Doetsch bereits die strikte Konvexität von ||x||^2.
Wenn du die Norm nicht quadrierst, ist sie auch nicht mehr strikt konvex. Siehe z.B. x=0 und y beliebig.
Wie ist das f definiert?
Ok, gibt es denn ein einfaches Beispiel für eine strikt konvexe Norm (oder ist die Norm quadriert immer noch eine Norm)?
Das f bildet einen Vektor aus dem |R^n auf eine reelle Zahl ab, die sich dadurch ergibt, dass man die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate der Vektorkomponenten zieht (bzw. das f macht das, was die jeweilige Norm macht).
Eine strikt konvexe Norm oder eher ein normierter Vektorraum (V,||-||) heißt strikt konvex, falls das Quadrat der Norm (also ||-||^2) strikt konvex ist. Es muss also nicht die Norm, sondern das Quadrat der Norm strikt konvex sein. Ansonsten wäre keine Norm strikt konvex, was die Definition hinfällig macht.
Achso, das f ist also einfach die euklidische Norm. Dann gilt das was in meinen Kommentaren zu der euklidischen Norm steht.
Ich habe das auf die euklidische Norm bezogen, weil es gerade um diese ging.
Es könnte aber auch eine beliebige Norm oder Funktion sein; ich wollte nur die Bedingung für Konvexität aufschreiben, die wir verwenden.
Ok, diese Definition kannte ich nicht. Dann gibt es nach meiner Bedingung für strikte Konvexität also keine strikt konvexe Norm. Danke, das ist gut zu wissen!
Ich vermute es liegt, an dem kleiner-gleich-Zeichen in der Dreiecksungleichung bei der Definition von Normen, aber ich bin mir nicht sicher.
Ich vermute es liegt, an dem kleiner-gleich-Zeichen in der Dreiecksungleichung bei der Definition von Normen, aber ich bin mir nicht sicher
Falls du statt < auch <= zulässt (also statt strikt konvex nur noch konvex forderst), ist die Situation natürlich eine andere. Jede Norm ist sogar konvex. Das folgt direkt aus der Dreiecksgleichung und Homogenität.
Danke, dass ||x||^2 strikt konvex ist, wenn mit ||•|| die euklidische Norm gemeint ist, hatte ich schon gefunden. Gilt denn auch für die euklidische Norm ||φ|| = f(φ)(auch wenn sie nicht quadriert ist), dass mit x und y aus dem IR^n für ein reelles λ zwischen 0 und 1 diese Ungleichung f(λ x + (1-λ)y) < λf(x) + (1 - λ)f(y) ?