Wie erfindet man eine mathematische Gleichung, wie zum Beispiel die PQ Formel?
Im Laufe meiner Schullaufbahn frage ich mich immer wieder, besonders in Mathe, wie jemand sich eine komplizierte Formel ausdenken konnte, wie z.B die PQ Formel, bei der man erfährt, ob und wie viele Nullstellen es gibt. Ich finde es ehrlich gesagt ziemlich verblüffend. Wie kommt man darauf? Oder die quadratische Ergänzung ... Wie oft muss man es ausprobieren, bis es klappt und woher weiß man überhaupt, wann und wie das richtige Ergebnis rauskommt? Man kann es ja nicht überprüfen, indem man eine Formel umstellt, die es noch gar nicht gibt.
Danke
5 Antworten
Alle Formeln sind in Wahrheit Gleichungen. Das erkennst du auch an dem Gleichheitszeichen ( = ). Die linke Seite ist genauso wie die Summe der rechten Seite. Ein Beispiel: 5 + 5 = 10 oder halt 10=10
Die Gleichungen wurden aus anderen Gleichungen hergeleitet. Siehe auch die Herleitung der PQ-Formel. Jemand suchte die Werte von x aus einer quadratischen Funktion und hat sie solange umgeformt, dass die PQ-Formel enstand. Statt die Gleichung jedes mal umzuformen, wurde aus der Gleichung eine Formel, in der man die Werte einfach nur einträgt.
Das herleiten lernt man bewusst in der Oberstufe eines Gymnasiums, hat man aber unbewusst schon in der 5. Klasse gemacht mit dem Satz des Pytagoras.
Ich bleibe mal bei der pq-Formel.
Vorher habt Ihr wahrscheinlich eine quadratische Gleichung mit der quadratischen Ergänzung gelöst. Ziel dabei war es, die Gleichung so umformen zu können, dass auf einer Seite der Gleichung ein binomischer Ausdruck, nämlich (x-a)² oder (x+a)², steht. Danach kamt Ihr mit Hilfe des Wurzel-Ziehens auf zwei Gleichungen, in denen jetzt kein x² mehr steht, sondern nur noch ein einfaches x. Diese beiden Gleichungen habt Ihr dann weiter nach x aufgelöst.
Und wie Du gemerkt hast, macht man bei jeder quadratischen Gleichung immer wieder dasselbe Verfahren mit allen oben verkürzt dargestellten Schritten (und das waren schon genügend).
Nun kommt der Mathematiker ins Spiel. Der ist ja bekanntlich faul und will diese Schritte nicht immer wieder bei jeder Aufgabe neu ausführen müssen. Also macht er sich einmal etwas mehr Arbeit, rechnet so eine Aufgabe allgemein durch, nämlich eine Gleichung der Form x² + px + q = 0, und erhält dann eine allgemeine Lösung, die für jede Gleichung dieser Form gilt.
Da diese Lösung die beiden Parameter p und q enthält, nennt man das anschließend die pq-Formel, in die man "nur noch" die jeweiligen Zahlen für p und q einsetzen muss, um zur Lösung zu gelangen.
Im Grunde ist so eine Formel eine enorme Vereinfachung, da in ihr sämltiche Schritte (quadratische Ergänzung, umformen, Wurzel ziehen, weiter nach x auflösen) alle enthalten sind.
Ähnlich ist es mit Formel für Flächen- und Rauminhalte: die Formeln für "kompliziertere" Flächen und Körper beruhen häufig auf den Formeln für einfachere Gebilde.
Etwas anderes ist es, wenn man aufgrund von intensiven Beobachtungen (z.B. "Wie lange dauert es, bis ein Gegenstand aus einer bestimmten Höhe bis zum Boden fällt?") zu einem mathematischen Zusammenhang gelangt, der einem quasi per Fallgesetz (das heißt wirklich so) angibt: wenn ein Gegenstand vom Loslassen bis zum Auftreffen auf den Boden eine bestimmte Zeit t gebraucht hat (kann man gut messen), dann hat er die Höhe h zurückgelegt.
Um solche Zusammenhänge durch eine mathematische Formel beschreiben zu können, braucht es schon ein wenig Fingerspitzengefühl.
Solche Formeln werden zuerst von schlauen Denkern (zumeist alte Griechen)...
...vermutet
und später dann von Mathematikern...
...bewiesen.
indem sie aus anderen - bereits bewiesenen - Formeln hergeleitet werden.
Die denkt man sich nicht einfach so aus, die leitet man aus Versuchen, Beobachtungen und Messungen ab. Formeln versuchen, ein beobachtetes Phänomen mathematisch so genau wie möglich zu rekonstruieren. Formeln sind immer nur eine mathematische Annährung an ein natürlich beobachtbares und messbares phänomen.
Man schaut dann bei dem Versuch, welche Faktoren eine Rolle spielen können und versucht dann, eine mathematische Erklärung zu finden.
Die pq-Formel ist nur einfaches Umstellen einer Gleichung, was jeder bei Wikipedia nachlesen kann.
Bei kubischen Gleichungen wird es sehr viel komplizierter, siehe PQRST-Formel unter
http://www.lamprechts.de/gerd/Quartische_Gleichung.html
Die wurde nicht einfach "ausgedacht" oder durch "Herumprobieren" gefunden, sondern ist Resultat von vielen "Vordenkern" und wissenschaftliches Herangehen an viele kleine Teilprobleme:
-Zunächst gab es viele Sonderfall-Unterscheidungen
-bereits im Jahr 1545 hat Gerolamo Cardano die Grundlagen gelegt (LINK inten auf der Seite)
-Trigonometrische Funktionen kamen hinzu
-„komplexe Zahlen“ wurden von Carl Friedrich Gauß gegen 1831 geprägt
-Erweiterung der Trigonometr. Funktionen in den komplexen Zahlenbereich
-Schritt für Schritt wurden "Sonderfälle" in allgemeingültige Teile zusammengefasst
-durch das "Weiterrechnen trotz negativer Wurzeln" per komplexe Zahlen konnte man alle Fälle in eine einzige Formel stecken, die zunächst extrem groß war
-durch Hilfsvariablen P, Q, R, S, T konnte diese dann stark verkleinert werden
Dann gibt es aber auch noch Genies wie der indische S. Ramanujan (siehe Wikipedia), der knapp 600 neuer Formeln aufstellte, die bis heute nicht alle bewiesen wurden:
„Die Entdeckung dieses verlorenen Notizbuches verursachte ungefähr so viel Aufruhr in der mathematischen Welt,wie die Entdeckung von Beethovens zehnter Symphonie in der musischen Welt verursachen würde."!!!!
Leider gehen auch viele "Schätze" verloren. Und mindestens 80% aller Mathe Lehrer werden noch nie was von der PQRST Formel gehört haben(hatte ich nicht mal im Studium)...
Interessant: etwa 80% der über 300 bekannten Funktionen können per hypergeometrischer Funktion berechnet werden.Mit anderen Worten:
sinus, arctan usw. sind auch nur "Sonderfälle" der hypergeometrischen Funktion und nur die Menschen schufen sich "Schubfächer", damit sie leichter lernen und behalten können.
Viele Pi Berechnungsformeln wie unter
http://www.gerdlamprecht.de/Kreiszahl.htm
§2a ... 2c sind bis heute nicht bewiesen! Deshalb muss man bei Weltrekordberechnungen immer Validierungsberechnungen anstellen:
Etwa alle 1 Mio. Hexadezimalstellen vergleicht man mit den bekannten BBP-Formeln, ob einzelne Ziffernfolgen noch stimmen.
Bei einem anderen Fall stellte sich ab Nachkommastelle oberhalb 18000 heraus, dass andere Ziffern kamen -> also eine andere mathematische Konstante extrem dicht neben Pi!
Unter "Almost Integer" findet man hunderte Internet Seiten von Konstanten, die dicht nebeneinander liegen, wo jeder "normale Mensch" sagt: "das ist doch die selbe, denn über 1000 Stellen stimmen überein..."
-> für exakte Mathematiker, die Zahlen bis Bio. Nachkommastellen berechnen, sind das WELTEN.