Dezimalzahlen in Binär umwandel; Was bedeutet der Strich über der Zahl, Gibt es hierbei ein Ende?
Hallo,
folgende Zahl soll von Dezimal in Binär umgewandelt werden.
Dez.: 12,645
Normaler weise wird wohl wie folgt vorgegagnen:
- Umwandlung der Zahlen vor dem Komma
- Umwandlung der Zahlen nach dem Komma
- beide nebeneinander Schreiben und Komma zwischen setzen.
Umwandlung des Anteils vor dem Komma berechnen:
12:2= 6 Rest 0
6:2=3 Rest 0
3:2=1,5 Rest 1
1,5:2=0,75 Rest 1
Anteil vor dem Komma ergibt Binär: 1100
Umwandlung des Anteils nach dem Komma berechnen:
Dezimal 0,645
Anteil nach dem Komma
0,645 * 2 = 1,29 1 Abspalten
0,29 * 2 = 0,58 0 Abspalten
0,58 * 2 = 1,16 1 Abspalten
0,16 * 2 = 0,32 0 Abspalten
0,32 * 2 = 0,64 0 Abspalten
0,64 * 2 = 1,28 1 Abspalten
0,28 * 2 = 0,56 0 Abspalten
0,56 * 2 = 1,12 1 Abspalten
0,12 * 2 = 0,24 0 Abspalten
0,24 * 2 = 0,48 0 Abspalten
0,48 * 2 = 0,96 0 Abspalten
0,96 * 2 = 1,92 1 Abspalten
0,92 * 2 = 1,84 1 Abspalten
0,84 * 2 = 1,68 1 Abspalten
0,68 * 2 = 1,36 1 Abspalten
0,36 * 2 = 0,72 0 Abspalten
0,72 * 2 = 1,44 1 Abspalten
Wann hört das auf?
Gibt es da eine natürliche Grenze? Bei x Wiederholungen oder so?
Anteil nach dem Komma ergibt:
Binär 10100101000111101
Frage_01
Wann weis ich wo schluss ist, kommt bei dieser Rechnung je 0 Raus ?
Nach meiner Rechnung würde die Dezimalzahl 12,645 irgendwas in Richtung
"1100,10100101000111101..." als Binärzahl ergeben.
Die Berechnung der Nachkommastelle könnte also enorm Zeitaufwendig werden.
Frage_02
Stimmt es dass bis zur Wiederholung eines Nachkommeergebnises gerechnet wird und die Aufabe dann beendet ist?
4 Antworten
Wann weis ich wo schluss ist, kommt bei dieser Rechnung je 0 Raus ?
Wenn da eine Periode kommt, dann ist Schluss, oder wenn du deine maximale Bit-Zahl erreicht hast.
Irgendwann wiederholt sich das immer (sonst wäre die gegebene Zahl nicht rational und könnte nicht als Dezimalzahl wie gegeben abgebildert werden.
Stimmt es dass bis zur Wiederholung eines Nachkommeergebnises gerechnet wird und die Aufabe dann beendet ist?
Ja, so in etwa würde das dann wohl funktionieren.
Dein gezeigtes Schema ist richtig.
Jetzt zu deinen Fragen:
"Wann weis ich wo schluss ist," ---> Genau dann, wenn tatsächlich 0 rauskommt, d.h. wenn NACH dem Abspalten der 1 nix mehr da ist.
"kommt bei dieser Rechnung je 0 Raus" ---> ja, sobald eine Potenz 2^-x erreicht ist.
"Die Berechnung der Nachkommastelle könnte also enorm Zeitaufwendig werden" ---> ja, das ist so, deshalb rundet man ja auch wie bei Dezimalzahlen irgendwann auf oder ab.
"Stimmt es dass bis zur Wiederholung eines Nachkommeergebnises gerechnet wird und die Aufabe dann beendet ist?" ----> Ja, so ist das. Wenn du in deinem Beispiel wieder eine 0,32 gefunden hättest (deine 4te Stelle) dann wäre es ja genau wieder so weitergegangen wie bei dir ab der 4ten Stelle. Das wäre dann die Periode, die man mit einem Querstrich markiert.
Das Gemeine ist, dass die Periode erst bei Bit 2^-6 anfängt.
Die Periode ist 20 Bit lang.
[ -1] 1 1.29
[ -2] 0 0.58
[ -3] 1 1.16
[ -4] 0 0.32
[ -5] 0 0.64
[ -6] 1 1.28
[ -7] 0 0.56
[ -8] 1 1.12
[ -9] 0 0.24
[-10] 0 0.48
[-11] 0 0.96
[-12] 1 1.92
[-13] 1 1.84
[-14] 1 1.68
[-15] 1 1.36
[-16] 0 0.72
[-17] 1 1.44
[-18] 0 0.88
[-19] 1 1.76
[-20] 1 1.52
[-21] 1 1.04
[-22] 0 0.08
[-23] 0 0.16
[-24] 0 0.32
[-25] 0 0.64
[-26] 1 1.28
[-27] 0 0.56
[-28] 1 1.12
[-29] 0 0.24
[-30] 0 0.48
[-31] 0 0.96
[-32] 1 1.92
[-33] 1 1.84
[-34] 1 1.68
[-35] 1 1.36
[-36] 0 0.72
[-37] 1 1.44
[-38] 0 0.88
[-39] 1 1.76
[-40] 1 1.52
[-41] 1 1.04
[-42] 0 0.08
[-43] 0 0.16
[-44] 0 0.32
[-45] 0 0.64
[-46] 1 1.28
[-47] 0 0.56
[-48] 1 1.12
...
Und das geht unendlich lange so weiter.
Frage 1: Die Nachkommastellen werden periodisch ab ca. 25 Stellen. Es wiederholt sich die 0.32.
Es gibt keine Grenze, denn du kannst dir ja eine Binärzahl mit beliebig vielen Nachkommastellen ausdenken und ins Dezimalsystem konvertieren.
Frage 2: ja. Das stimmt.