Definitionsmenge und nullstelle bei Brüchen
Also beim lernen fürs abi ist mir aufgefallen :
Um die definitionsmenge eines bruches zu finden muss ich den nenner (also unten) nullsetzten
Und wenn ich die nullstelle eines bruches finden will den zähler ( also oben ) nullsetzten
Stimmt das so weit ?
Jetzt meine frage wieso ? Man darf einen bruch nicht durch null teillen aus dem grund ist er dort nicht definiert, oder ?
Und bei der nullstelle brauch ich den zähler weil 0: irgendwas 0 ergibt
Ist das so richtig ? Irgendwie bin ich verwirrt es kommt mir so vor als ob jeder die regel undreht wie er will..
Als beispiel mal die angehängte aufgabe ( nr. 1) Der setzt doch da denn nenner null oder ? Also die aufgabenstellung ist finde die nullstelle
Danke !!
5 Antworten
Bevor da was schief läuft:
Die (maximale) Definitionsmenge umfasst alle diejenigen Zahlen, die Du für die Variable in den Funktionsterm einsetzen darfst. Also musst Du dafür sorgen, dass bei einem Bruch der Nenner nicht null wird (da man durch null nicht teilen kann). Damit sind die Nullstellen des Nenners die Definitionslücken, also diejenigen Werte, die Du für die Variable gerade nicht einsetzen darfst.
Jetzt zu den Nullstellen der Funktion. Sei f(x) = Z / N.
f(x) = 0 <=> Z / N = 0 | · N
<=> Z = 0
Wenn Du bei der Nullstellenberechnung immer mit dem kompletten Bruch beginnst und dann mit dem Nenner multiplizierst, ergibt sich automatisch die Gleichung Z=0. Dann brauchst Du gar nicht irgendwie zu argumentieren; innerhalb des Definitionsbereiches hast Du eine astreine Äquivalenzumformung gemacht.
Ja das ist richtig, durch null darf man nicht Teilen deshalb ist die Definitionsmenge der Nenner gleich Null. Wenn der Zähler null ergibt kommt immer egal was unten steht( außer natürlich null) immer Null raus, also ist das die Nullstelle.
In deinem Beispiel setzt der die Ableitung gleich Null das ist was anderes
(ist eigentlich schon gesagt, überliest man aber leicht) Wenn der Zähler die gleiche Nullstelle wie der Nenner hat ist dort trotzdem keine Nullstelle der Funktion, da der Wert nicht im Definitionsbereich liegt.
Hab mir grad mal die Aufgabe selbst angesehen und deinen Kommentar.
Es geht nicht um die Nullstellen von x/lnx (da gibt es keine) sondern um den Ableitungsterm. Dafür setzt du den Zähler null und löst die Gleichung auf! Ein sorgfältiger Mensch müsste jetzt noch prüfen, ob er nicht evtl. eine Nennernullstelle gefunden hat, da der Wert ja dann gar nicht definiert ist. Des weiteren müsste man f' noch auf vzw prüfen oder in f'' einsetzen...
der setzt doch den Zähler =0 bei f '