Das Produkt zweier rationalen Zahlen ist rational?

2 Antworten

Seien a,b,c,d ganze Zahlen, b und d ungleich Null. Dann sind a/b und c/d offensichtlich rationale Zahlen. Nun multipliziert man die beiden miteinander und nach der altbekannten Regel "Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner" kommt man auf das Ergebnis (a * c)/(b * d). Nun sind die ganzen Zahlen bezüglich der Multiplikation abgeschlossen, d.h. eine ganze Zahl mal eine ganze Zahl ist wieder eine ganze Zahl.

=> a * c und b * d sind ganze Zahlen. => (a * c)/(b * d) ist eine rationale Zahl.

Gute Antwort Melvissimo. So sieht ein Beweis aus :)

Man sollte nur noch erwähnen, das b und d ganzrationale Zahlen ungleich Null sind und somit auch ihr Produkt eine ganzrationale Zahl ungleich Null ergibt.

Gruß Mokinid

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@Mokinid

Danke für das Lob =)

Du hast Recht, das mit dem Produkt von b und d hätte man dazuschreiben sollen...

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Stimmt das überhaupt? Ich mein, wenn ich 2/4 und 4/2 multipliziere, ist das Produkt nicht rational, sondern ganz....

Nun ist eine ganze Zahl automatisch eine rationale Zahl. In deinem Beispiel:

2/4 * 4/2 = 1 = 1/1. Ich kann jede ganze Zahl als Bruch darstellen.

Weiter noch hast du selbst bereits eine ganze Zahl als Bruch darsgestellt, denn 4/2 ist ja nichts weiter als 2.

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